2011-浙江卷理-11 填-函数性质

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义，以及绝对值函数与偶函数性质。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 若函数 $f(x)=x^2-|x+a|$ 为偶函数，则实数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 偶函数满足 $f(-x)=f(x)$ 对定义域内所有 $x$ 恒成立。
2. 代入得 $(-x{)}^2-|-x+a|=x^2-|x+a|⟹|-x+a|=|x+a|$。
3. 平方化简得 $(x-a{)}^2=(x+a{)}^2⟹4ax=0$ 恒成立，从而解出 $a$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)=x^2-|x+a|$ 为偶函数，所以对任意 $x\in \mathbf{R}$ 都有 $f(-x)=f(x)$。 即： $(-x{)}^2-|-x+a|=x^2-|x+a|⟹|-x+a|=|x+a|⟹|x-a|=|x+a|$ 两边平方得： $(x-a{)}^2=(x+a{)}^2⟹x^2-2ax+a^2=x^2+2ax+a^2⟹4ax=0$ 上式对任意实数 $x$ 恒成立，故 $a=0$. 故答案为：0。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数奇偶性的定义 $f(-x)=f(x)$。
• 核心方法：恒成立条件下的系数对比法。
• 避坑指南：带绝对值的函数判断奇偶性时，切忌直接去掉绝对值符号，应利用平方或分段讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考函数性质基础小题。
• 结论推广：若 $f(x)=g(x^2)-|x+a|$ 为偶函数，通常要求 $a=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1985-全国卷理-03
• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1991-全国卷理-13