2011-浙江卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及指数幂的化简与系数方程。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 设二项式 ${\left(x-\frac{a}{\sqrt{x}}\right)}^6$ ($a>0$) 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $A$，常数项为 $B$. 若 $B=4A$，则 $a$ 的值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 化简通项中的 $x$ 指数，分别令其等于 3 和 0，求出对应的 $r$。
3. 表示出 $A$ 和 $B$ 关于 $a$ 的表达式，代入 $B=4A$ 求解 $a$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-\frac{a}{\sqrt{x}}\right)}^r={\text{C}}_6^r(-a{)}^r{x}^{6-\frac{3}{2}r}(r=0,1,2,3,4,5,6)$

• 求 $x^3$ 的系数 $A$：令 $6-\frac{3}{2}r=3⟹\frac{3}{2}r=3⟹r=2$. $A={\text{C}}_6^2(-a{)}^2=15a^2$
• 求常数项 $B$：令 $6-\frac{3}{2}r=0⟹\frac{3}{2}r=6⟹r=4$. $B={\text{C}}_6^4(-a{)}^4=15a^4$ 由 $B=4A$ 得： $15a^4=4\times 15a^2⟹a^2=4$ 因为 $a>0$，解得 $a=2$. 故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二项式定理通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
• 核心方法：分离指数求解项数 $r$，列方程求解参数。
• 避坑指南：注意符号处理，代入通项时负号带有幂次 $(-a{)}^r$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考计数原理章节二项式定理标准考题。
• 结论推广：形如 $(a{x}^m+b{x}^n{)}^p$ 展开式中指定项的系数恒可通过通项合并指数求得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2006-天津卷理-11 填-通项公式
• 2008-山东卷理-09