2011-浙江卷理-14 填-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积与几何意义，以及平行四边形面积公式。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 若平面向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 满足 $|\mathbf{\alpha }|=1,|\mathbf{\beta }|⩽1$，且以向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 为邻边的平行四边形的面积为 $\frac{1}{2}$，则 $\mathbf{\alpha }$ 和 $\mathbf{\beta }$ 的夹角 $\theta$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用平行四边形面积公式 $S=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\sin \theta =\frac{1}{2}$。
2. 代入已知条件 $|\mathbf{\alpha }|=1$ 得 $|\mathbf{\beta }|\sin \theta =\frac{1}{2}$。
3. 结合 $|\mathbf{\beta }|⩽1$ 放缩得到 $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$，从而求出夹角 $\theta$ 的范围。

✅【答案】

点击查看答案

$\left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

以向量 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }$ 为邻边的平行四边形面积为： $S=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\sin \theta =1\cdot |\mathbf{\beta }|\sin \theta =\frac{1}{2}$ 变形得： $\sin \theta =\frac{1}{2|\mathbf{\beta }|}$ 因为 $|\mathbf{\beta }|⩽1$，所以： $\sin \theta \ge \frac{1}{2\times 1}=\frac{1}{2}$ 又因为向量夹角 $\theta \in [0,\pi ]$，由 $\sin \theta \ge \frac{1}{2}$ 可得： $\frac{\pi }{6}⩽\theta ⩽\frac{5\pi }{6}$ 故答案为：$\left[\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：平面向量几何意义、平行四边形面积 $S=|\mathbf{\alpha }||\mathbf{\beta }|\sin \theta$、正弦函数图象与性质。
• 核心方法：利用不等式放缩转化三角函数范围。
• 避坑指南：向量夹角的范围为 $[0,\pi ]$，求解三角不等式时切勿漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考平面向量综合几何意义经典小题。
• 结论推广：以两向量为邻边的平行四边形面积等于两向量模与夹角正弦的乘积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2002-上海卷理-02 填-平面向量的数量积
• 2004-全国卷I理-03 单-平面向量的数量积