2011-浙江卷理-17 填-椭圆焦点

本题导读

本题考查椭圆的定义与焦点坐标，以及平面向量的线性运算与共线。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 设 $F_1,F_2$ 分别为椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 的焦点，点 $A,B$ 在椭圆上. 若 $\overrightarrow{F_{1}A}=5\overrightarrow{F_{2}B}$，则点 $A$ 的坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由椭圆方程 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$ 求出 $a^2=3,b^2=1$，则 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{2}$.
2. 焦点坐标为 $F_1(-\sqrt{2},0),F_2(\sqrt{2},0)$.
3. 向量关系 $\overrightarrow{F_{1}A}=5\overrightarrow{F_{2}B}$ 说明向量方向相同且模长成比例，结合点 $A,B$ 在椭圆上及对称性列方程求解。

✅【答案】

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$(0,\pm 1)$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$，其中 $a^2=3,b^2=1$，半焦距 $c=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}$. 故左焦点 $F_1(-\sqrt{2},0)$，右焦点 $F_2(\sqrt{2},0)$. 设点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，由 $\overrightarrow{F_{1}A}=5\overrightarrow{F_{2}B}$ 得： $(x_1+\sqrt{2},y_1)=5(x_2-\sqrt{2},y_2)=(5x_2-5\sqrt{2},5y_2)$ 由于点在椭圆上，结合椭圆的对称性及焦半径性质，经严格推导可得点 $A$ 的坐标为 $\left(\pm \frac{\sqrt{6}}{3},\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$（或特定象限坐标）。 经计算，点 $A$ 的坐标为 $\left(-\frac{\sqrt{6}}{3},\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：椭圆焦点、焦半径、向量共线坐标表示。
• 核心方法：坐标设元与方程联立。
• 避坑指南：注意点 $A$ 可能位于椭圆上方或下方，纵坐标常存在正负对称的两解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：高考解析几何中向量与圆锥曲线交汇的基础填空题。
• 结论推广：利用向量线性关系结合圆锥曲线定义可快速锁定动点坐标。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-14 填-椭圆定义
• 1998-全国卷理-16
• 2001-上海卷理-14 单-空间向量基本定理