2011-浙江卷理-20 解-二面角

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。

📌【题干】

Question

（2011年浙江卷(理)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$PO\perp$ 平面 $ABC$，垂足 $O$ 落在线段 $AD$ 上，已知 $BC=8$，$PO=4$，$AO=3$，$OD=2$.

(1) 证明：$AP\perp BC$；

(2) 在线段 $AP$ 上是否存在点 $M$，使得二面角 $A-MC-B$ 为直二面角？若存在，求出 $AM$ 的长；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 (1)：

• 因为 $AB=AC,D$ 为 $BC$ 的中点，所以 $AD\perp BC$。
• 又 $PO\perp$ 平面 $ABC$，而 $BC\subset$ 平面 $ABC$，故 $PO\perp BC$。
• 由 $AD\cap PO=O$，且 $AD,PO\subset$ 平面 $POD$，可证 $BC\perp$ 平面 $POD$，进而得出 $AP\perp BC$。

2. 对 (2)：

• 建立以 $O$ 为原点的空间直角坐标系：过 $O$ 作平行于 $BC$ 的直线为 $x$ 轴，$OD$ 所在直线为 $y$ 轴，$OP$ 所在直线为 $z$ 轴。
• 写出各点坐标：$O(0,0,0)$，$P(0,0,4)$，$A(0,-3,0)$，$D(0,2,0)$，由 $BC=8$ 及 $D$ 为中点知 $B(-4,2,0),C(4,2,0)$.
• 设点 $M$ 在线段 $AP$ 上，利用向量线性表示设出 $M$ 的坐标，利用二面角为直二面角（法向量垂直）建立方程求解是否存在满足条件的 $M$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，所以 $AD\perp BC$. 因为 $PO\perp$ 平面 $ABC$，且 $BC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PO\perp BC$. 又 $AD\cap PO=O$，$AD,PO\subset$ 平面 $PAD$，所以 $BC\perp$ 平面 $PAD$. 因为 $AP\subset$ 平面 $PAD$，所以 $AP\perp BC$.

(2) 以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OD}$ 的方向为 $y$ 轴正方向，$OP$ 所在的直线为 $z$ 轴，过 $O$ 且垂直于平面 $POD$ 的直线为 $x$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$. 由题设知： $O(0,0,0)$ $P(0,0,4)$ $A(0,-3,0)$ $D(0,2,0)$ $BC=8$ 且 $D$ 为中点，故 $B(-4,2,0)$，$C(4,2,0)$. 设点 $M$ 在线段 $AP$ 上，设 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}(0⩽\lambda ⩽1)$. 因为 $\overrightarrow{AP}=(0,3,4)$，所以 $\overrightarrow{AM}=(0,3\lambda ,4\lambda )$. 从而点 $M$ 的坐标为 $(0,3\lambda -3,4\lambda )$. 求相关向量： $\overrightarrow{MC}=(4,5-3\lambda ,-4\lambda )$ $\overrightarrow{MB}=(-4,5-3\lambda ,-4\lambda )$ $\overrightarrow{AC}=(4,5,0)$ 设平面 $AMC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，平面 $BMC$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$. 通过联立方程组求出法向量，由二面角 $A-MC-B$ 为直二面角，即两法向量垂直 ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0$. 经计算可得 $\lambda =\frac{3}{4}$，此时 $AM=\frac{3}{4}AP=\frac{3}{4}\times 5=\frac{15}{4}$. 故存在点 $M$，使得二面角 $A-MC-B$ 为直二面角，此时 $AM$ 的长为 $\frac{15}{4}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面垂直性质、线线垂直证明、空间直角坐标系建系、向量法求二面角。
• 核心方法：利用面面垂直或线面垂直构造直角坐标系；通过向量参数法设点探究存在性。
• 避坑指南：第 (2) 问中设点 $M$ 时利用向量比例 $\overrightarrow{AM}=\lambda \overrightarrow{AP}$ 可以有效简化坐标表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：2011年浙江高考理科数学立体几何解答题标准压轴题型。
• 结论推广：空间中“是否存在点使得二面角为直二面角”一类问题，通常转化为法向量数量积为零的方程求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 1990-全国卷理-23 解-二面角的度数
• 2004-全国卷II理-16 填-空间线面垂直