2011-湖北卷理-06 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及指数函数的性质。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(理)） 已知定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数 $f(x)$ 和偶函数 $g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=a^x-a^{-x}+2$ ($a>0$, 且 $a\ne 1$). 若 $g(2)=a$, 则 $f(2)=$ ()

A. 2　　　　　　B. $\frac{15}{4}$　　　　　　C. $\frac{17}{4}$　　　　　　D. $a^2$

🔍【思路分析】

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1. 用 $-x$ 替换已知等式中的 $x$，结合 $f(-x)=-f(x)$ 和 $g(-x)=g(x)$ 联立解出 $g(x)$ 与 $f(x)$。
2. 由 $g(2)=a$ 求出底数 $a$，进而求得 $f(2)$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由题意， ① $f(x)+g(x)=a^x-a^{-x}+2$； 用 $-x$ 代替 $x$，得： $f(-x)+g(-x)=a^{-x}-a^x+2$， 即 ② $-f(x)+g(x)=-(a^x-a^{-x})+2$。

① + ② 得 $2g(x)=4⟹g(x)=2$。 因为 $g(2)=a$，所以 $a=2$。 ① - ② 得 $2f(x)=2(a^x-a^{-x})⟹f(x)=a^x-a^{-x}=2^x-2^{-x}$。 因此，$f(2)=2^2-2^{-2}=4-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：奇偶性的代数定义与方程组解法。
• 核心方法：对称替换法（令 $x\to -x$）分离奇偶分量。
• 避坑指南：常数项 $2$ 为偶函数分量，计算时注意符号变化，不可遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：任何定义域关于原点对称的函数 $F(x)$ 均可唯一分解为一个奇函数与一个偶函数之和：$F(x)=\frac{F(x)-F(-x)}{2}+\frac{F(x)+F(-x)}{2}$。
• 结论推广：若 $f(x)+g(x)=F(x)$，则奇分量 $f(x)=\frac{F(x)-F(-x)}{2}$，偶分量 $g(x)=\frac{F(x)+F(-x)}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2003-江苏卷-18
• 2003-辽宁卷-18