2011-湖南卷文-05 单-独立性检验

本题导读

本题考查独立性检验，以及临界值表的读法。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 通过随机询问 $110$ 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

	男	女	总计
爱好	$40$	$20$	$60$
不爱好	$20$	$30$	$50$
总计	$60$	$50$	$110$

由 $K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 算得，$K^2=\frac{110\times (40\times 30-20\times 20{)}^2}{60\times 50\times 60\times 50}\approx 7.8$.附表：

$P(K^2⩾k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

参照附表，得到的正确结论是 ()

A. 有 $99\%$ 以上的把握认为”爱好该项运动与性别有关”

B. 有 $99\%$ 以上的把握认为”爱好该项运动与性别无关”

C. 在犯错误的概率不超过 $0.1\%$ 的前提下，认为”爱好该项运动与性别有关”

D. 在犯错误的概率不超过 $0.1\%$ 的前提下，认为”爱好该项运动与性别无关”

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：把 $K^2\approx 7.8$ 与临界值 $6.635$
2. 步骤2：$10.828$ 比较定位置信水平

✅【答案】

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A有 $99\%$ 以上的把握认为”爱好该项运动与性别有关”

✍【详细解析】

Abstract

$K^2\approx 7.8$，而 $6.635<7.8<10.828$。

独立性检验的规则：$K^2>6.635$ 对应 $P(K^2⩾k)=0.010$，即在犯错误的概率不超过 $0.01$（$1\%$）的前提下认为两变量有关，等价表述为”有 $99\%$ 以上的把握认为有关”；而”有 $99\%$ 以上的把握”还覆盖 $7.8$ 与 $10.828$ 之间的一切情形。

$7.8<10.828$，未达到 $0.001$ 档，故不能说”犯错误的概率不超过 $0.1\%$“，C 错；B、D 的”无关”表述与检验结论方向相反，排除。选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：$2\times 2$ 列联表；$K^2$ 观测值与临界值比较；置信水平的等价表述

核心方法：算出（或题给）$K^2$ 后落入哪一档临界值区间，就按那一档下结论

避坑指南：”$99\%$ 的把握认为有关”与”犯错误的概率不超过 $1\%$“是同一结论的两种说法；超过 $6.635$ 只保证 $1\%$ 档，说成 $0.1\%$ 档是越级结论；结论方向必是”有关”——独立性检验 only 检验”有关”，不存在”有把握认为无关”的说法。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立性检验题与 2014-江西卷文-07、2012-辽宁卷文-19、2014-辽宁卷文-18 同族。

结论推广：推广：$K^2$ 越大越有理由认为两变量有关；临界值表从左到右（$3.841\to 6.635\to 10.828$）对应置信水平 $95\%\to 99\%\to 99.9\%$，结论只能取”达到的最高档”。

方法推广：独立性检验小题：无需重算 $K^2$ 时，直接拿观测值对临界值定位档位，再核对”有关”方向与档位表述。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-07 单-独立性检验
• 2012-辽宁卷文-19 解-独立性检验与古典概型
• 2014-辽宁卷文-18 解-独立性检验