2011-湖南卷理-02 单-韦恩图

本题导读

本题考查集合的包含关系，以及充分条件与必要条件的判定。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)）

设 $M=\{1,2\}$，$N=\{a^2\}$，则“$a=1$”是“$N\subseteq M$”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分又不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 分析充分性：若 $a=1$，求集合 $N$，检验是否满足 $N\subseteq M$。

2. 分析必要性：由 $N\subseteq M$ 得出 $a^2=1$ 或 $a^2=2$，求出 $a$ 的可能取值，判断能否推出 $a=1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性判断：

当 $a=1$ 时，$N=\{1\}$。因为 $1\in M$，所以 $N\subseteq M$ 成立，充分性成立。

必要性判断：

若 $N\subseteq M$，由于 $N=\{a^2\}$，$M=\{1,2\}$，

则必有 $a^2\in M$，即 $a^2=1$ 或 $a^2=2$。

解得 $a=\pm 1$ 或 $a=\pm \sqrt{2}$。

推不出 $a=1$（例如 $a=-1$ 时 $N=\{1\}\subseteq M$ 仍成立），必要性不成立。

因此，“$a=1$”是“$N\subseteq M$”的充分不必要条件。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：子集定义与充分必要条件的判断。

• 核心方法：小范围可以推大范围，大范围推不出小范围。

• 避坑指南：不可漏掉 $a=-1$ 或 $a=\pm \sqrt{2}$ 的反例情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：集合论子集判定与命题逻辑中推导蕴含关系的综合。

• 结论推广：对单元素集 $N=\{f(a)\}$，有 $N\subseteq M⟺f(a)\in M$。若 $f(a)$ 为多对一函数，则原变量条件通常是子集关系的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-03 单-集合包含与充要条件

• 2005-山东卷理-10 单-集合的包含关系与补并运算

• 2008-福建卷理-02