2011-湖南卷理-11 填-测山高

本题导读

本题考查圆周角定理与圆心角性质，以及解直角三角形。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 如图，$A$、$E$ 是半圆周上的两个三等分点，直径 $BC=4$，$AD\perp BC$，垂足为 $D$，$BE$ 与 $AD$ 相交于点 $F$，则 $AF$ 的长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 圆心记为 $O$。由 $A,E$ 是半圆弧的三等分点，可求得圆心角 $\angle AOB=60^{\circ }$。
2. 根据直角三角形 $ADB$（或 $△AOD$），计算 $BD$ 与 $AD$ 的长度。
3. 利用圆周角定理求得 $\angle EBC=\frac{1}{2}\angle EOC=30^{\circ }$。
4. 在直角三角形 $BDF$ 中，由 $\angle FBD=30^{\circ }$ 和 $BD$ 的长求出 $FD$ 的长。
5. 作差求得 $AF=AD-FD$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设半圆的圆心为 $O$。 因为直径 $BC=4$，所以半径 $R=OB=OA=2$。 由 $A,E$ 是半圆周上的两个三等分点，知： $\angle AOB=\angle AOE=\angle EOC=\frac{180^{\circ }}{3}=60^{\circ }$。

在 Rt$△AOD$ 中，$\angle AOD=60^{\circ }$，$OA=2$： $OD=OA\cos 60^{\circ }=2\times \frac{1}{2}=1$； $AD=OA\sin 60^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。 则 $BD=OB-OD=2-1=1$。

连接 $OE$。因为 $\angle EOC=60^{\circ }$ 且 $△BOE$ 为等腰三角形（$OB=OE=2$）， 或者由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得： $\angle FBD=\angle EBC=\frac{1}{2}\angle EOC=\frac{1}{2}\times 60^{\circ }=30^{\circ }$。

在 Rt$△FDB$ 中，$AD\perp BC⟹\angle FDB=90^{\circ }$： $FD=BD\cdot \tan \angle FBD=1\times \tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

所以： $AF=AD-FD=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

故填：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三等分点对应的圆心角大小、圆周角定理、直角三角形边角计算。
• 核心方法：利用特征角 $60^{\circ }$ 与 $30^{\circ }$ 结合三角函数分别求线段 $AD$ 和 $FD$，通过线段差求 $AF$。
• 避坑指南：识别三等分点时注意是弧的三等分点，圆心角均为 $60^{\circ }$；注意点 $D$ 位于线段 $OB$ 的中点，计算 $BD$ 时避免误算为 $1.5$ 或直接写成半径长。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选修 4-1《几何证明选讲》中圆与三角形综合度量问题。
• 结论推广：若点 $A,E$ 对应的圆心角分别为 $\alpha$ 和 $\beta$，则在垂线段截取中，$AF=R\left(\sin \alpha -(1-\cos \alpha )\tan \frac{\beta }{2}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-22 解-角平分线与相似
• 2013-新课标II卷理-22 解-弦切角定理
• 2013-湖北卷理-15 填-圆的性质