2011-湖南卷理-16 填-进位制

本题导读

本题考查进位制，以及数列与计数原理。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 对于 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，将 $n$ 表示为 $n=a_0\times 2^k+a_1\times 2^{k-1}+a_2\times 2^{k-2}+\cdots +a_{k-1}\times 2^1+a_k\times 2^0$.当 $i=0$ 时，$a_i=1$，当 $1⩽i⩽k$ 时，$a_i$ 为 0 或 1.记 $I(n)$ 为上述表示中 $a_i$ 为 0 的个数（例如：$1=1\times 2^0$，$4=1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0$，则 $I(1)=0$，$I(4)=2$），则 (1) $I(12)=$ $\underline{}$；(2) ${\sum }_{n=1}^{127}{2}^{I(n)}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：将 12 转化为二进制数：$12=8+4=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0$，二进制为 $(1100{)}_2$，统计其中 0 的个数。
2. 第 (2) 问：

• 考虑求和区间 $1⩽n⩽127$。由于 $127=2^7-1$，此范围内的正整数恰为所有二进制位数为 1 位到 7 位的数。
• 对位长进行分类：设 $n$ 的二进制表达式总长度为 $k+1$ 位（$k=0,1,2,\dots ,6$），则最高位 $a_0=1$，后面 $k$ 位每个位置可独立取 0 或 1。
• 若后面 $k$ 位中有 $j$ 个 0，则贡献为 $2^j$，且这样的数共有 ${\mathrm{C}}_k^j$ 个。
• 利用二项式定理对每一位长求和：${\sum }_{j=0}^k{\mathrm{C}}_k^j{2}^j=(1+2{)}^k=3^k$。
• 将所有可能的位长 $k=0,1,\dots ,6$ 对应的项进行等比数列求和。

✅【答案】

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(1) 2

✍【详细解析】

Abstract

(1) 将 12 化为二进制： $12=8+4=1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+0\times 2^0$。 此时最高位 $a_0=1$（$k=3$），各项系数依次为 $a_0=1,a_1=1,a_2=0,a_3=0$。 其中系数为 0 的个数为 2 个，所以： $I(12)=2$。

(2) 求和式为 $S={\sum }_{n=1}^{127}{2}^{I(n)}$。 注意 $127=2^7-1=(1111111{)}_2$。 集合 $\{1,2,\cdots ,127\}$ 中的所有正整数，其二进制表示的位数 $m=k+1$ 满足 $1⩽m⩽7$，即 $0⩽k⩽6$。 对于确定的位数 $k+1$： 最高位 $a_0$ 必须为 1，其余后 $k$ 位（即 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$）每位独立地从 $\{0,1\}$ 中选取。 当后 $k$ 位中有 $j$ 个 0 时（$0⩽j⩽k$），这样的数有 ${\mathrm{C}}_k^j$ 个， 且对这些数均有 $I(n)=j$，对应每一项的值为 $2^{I(n)}=2^j$。

因此，所有位数为 $k+1$ 的数的和为： ${\sum }_{j=0}^k{\mathrm{C}}_k^j{2}^j=(1+2{)}^k=3^k$。

对于 $1⩽n⩽127$，$k$ 从 $0$ 遍历到 $6$。 累加所有可能位数的和，得： ${\sum }_{n=1}^{127}{2}^{I(n)}={\sum }_{k=0}^6{3}^k=\frac{3^0(1-3^7)}{1-3}=\frac{1-2187}{-2}=\frac{-2186}{-2}=1093$。

故填： (1) 2； (2) 1093。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：进位制转化、二进制码位特征分析、二项式定理加权求和。
• 核心方法：按二进制位数分类，利用 $\sum {\mathrm{C}}_k^j{x}^j=(1+x{)}^k$ 实现快速聚合。
• 避坑指南：必须注意最高位 $a_0$ 恒等于 1，不能为 0，只有后 $k$ 位才能取 0；注意 $k$ 的取值上限为 6（总位长 $k+1=7$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自计算机科学中 Hamming 权重（二进制中 1 的个数）与汉明距离统计的生成函数模型。
• 结论推广：对任意形式 ${\sum }_{n=1}^{2^m-1}{x}^{I(n)}$，其结果恒为 ${\sum }_{k=0}^{m-1}(1+x{)}^k=\frac{(1+x{)}^m-1}{x}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1984-全国卷理-09
• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1987-全国卷理-11 填-二项式展开式的系数