2011-湖南卷理-19 解-二面角

本题导读

本题考查面面垂直的判定定理。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(理)） 如图，在圆锥 $PO$ 中，已知 $PO=\sqrt{2}$，$\odot O$ 的直径 $AB=2$，$C$ 是 $\widehat{AB}$ 的中点，$D$ 为 $AC$ 的中点.

(1) 证明：平面 $POD\perp$ 平面 $PAC$；

(2) 求二面角 $B-PA-C$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用圆锥轴截面垂直性质得 $PO\perp$ 底面 $\odot O$，从而 $PO\perp AC$；在底面等腰直角三角形 $AOC$ 中，由 $D$ 是弦 $AC$ 中点得 $OD\perp AC$；由线面垂直判定定理推得 $AC\perp$ 平面 $POD$，进而证明面面垂直。
2. 第 (2) 问：以 $O$ 为坐标原点，射线 $OB,OC,OP$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。写出各点坐标，求出平面 $PAB$ 和平面 $PAC$ 的法向量，利用法向量夹角公式计算二面角的余弦值（结合图形判断锐钝性）。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $PO$ 是圆锥的高，所以 $PO\perp$ 底面 $\odot O$。 又因为 $AC\subset$ 底面 $\odot O$，所以 $PO\perp AC$。 在底面 $\odot O$ 中，$AB$ 为直径，$OA=OC=1$。 因为 $C$ 是 $\widehat{AB}$ 的中点，所以 $\angle AOC=90^{\circ }$，即 $△AOC$ 为等腰直角三角形。 又因为 $D$ 为 $AC$ 的中点，所以 $OD\perp AC$。 由于 $PO\cap OD=O$，$PO,OD\subset$ 平面 $POD$， 所以 $AC\perp$ 平面 $POD$。 又因为 $AC\subset$ 平面 $PAC$， 所以平面 $POD\perp$ 平面 $PAC$。

(2) 以 $O$ 为坐标原点，$OB$ 所在直线为 $x$ 轴，$OC$ 所在直线为 $y$ 轴，$OP$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。 由题意得各点坐标为： $O(0,0,0)$，$A(-1,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，$P(0,0,\sqrt{2})$。

易知平面 $PAB$ 即为 $xOz$ 坐标平面，其一个法向量为： ${\mathbf{n}}_1=(0,1,0)$。

在平面 $PAC$ 中： $\overrightarrow{AP}=(1,0,\sqrt{2})$， $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$。 设平面 $PAC$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$，则： $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AP}=x+\sqrt{2}z=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{AC}=x+y=0\end{array}$ 令 $z=1$，得 $x=-\sqrt{2}$，$y=\sqrt{2}$， 所以平面 $PAC$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(-\sqrt{2},\sqrt{2},1)$。

设二面角 $B-PA-C$ 的平面角为 $\theta$。 由图可知，二面角 $B-PA-C$ 为锐二面角，则： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|0\times (-\sqrt{2})+1\times \sqrt{2}+0\times 1|}{1\times \sqrt{(-\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。

答：二面角 $B-PA-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：线面垂直转化为面面垂直、建立空间直角坐标系求二面角。
• 核心方法：圆锥对称轴垂直于底面，天然提供正交坐标系（$OA,OC,OP$ 两两垂直），坐标法简洁高效。
• 避坑指南：第 (2) 问求出法向量夹角后，需结合几何图形确认二面角是锐角还是钝角，本题为锐角，余弦值为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：选自立体几何中的旋转体（圆锥）截面性质与二面角综合问题。
• 结论推广：底面半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥，内接底面为等腰直角三角形的四面体中，侧面二面角余弦值为 $\frac{r}{\sqrt{r^2+2h^2}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II理-20 解-线面垂直
• 2008-大纲卷I理-18
• 2022-浙江卷-19 解-立几综合