2011-福建卷理-02 单-余弦函数

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及一元二次方程的解集。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 若 $a\in \mathbf{R}$，则“$a=2$”是“$(a-1)(a-2)=0$”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解方程 $(a-1)(a-2)=0$，求得解集为 $\{1,2\}$。
2. 比较条件集合 $\{2\}$ 与结论集合 $\{1,2\}$ 的包含关系，确定充分与必要性。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $(a-1)(a-2)=0$，解得 $a=1$ 或 $a=2$。 记 $p:a=2$ 对应集合 $A=\{2\}$，$q:(a-1)(a-2)=0$ 对应集合 $B=\{1,2\}$。 因为 $AB$，所以由 $p⟹q$，但 $q\text{centernot}⟹p$。 故“$a=2$”是“$(a-1)(a-2)=0$”的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充要条件的集合判断法（小范围推大范围为充分不必要）。
• 核心方法：解方程求集合，比对真子集关系。
• 避坑指南：注意“$a=1$”也是方程的解，反推不成立，不可误判为充要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：简易逻辑常用逻辑用语的基础辨析题。
• 结论推广：若集合 $A⫋B$，则 $x\in A$ 是 $x\in B$ 的充分不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-04 单-充要条件方程
• 1985-全国卷理-02
• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递