2011-福建卷理-03 单-和差角公式

本题导读

本题考查二倍角正弦公式，以及弦切互化。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 若 $\tan \alpha =3$，则 $\frac{\sin 2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$ 的值等于 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角公式展开分子：$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$。
2. 分子分母约分化简，将式子转化为关于 $\tan \alpha$ 的表达式并代入求值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角公式，$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$。 所以：

$$\frac{\sin 2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{2\sin \alpha \cos \alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{2\sin \alpha }{\cos \alpha }=2\tan \alpha .$$

因为 $\tan \alpha =3$， 所以原式 $=2\times 3=6$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二倍角正弦公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 与商数关系 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$。
• 核心方法：弦切互化、直接约分。
• 避坑指南：约分时注意 $\cos \alpha \ne 0$（由 $\tan \alpha =3$ 自然保证成立），无需将 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 具体值分别求出。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：三角恒等变换基础化简求值题。
• 结论推广：对二次齐次分式 $\frac{a\sin 2\alpha +b\cos 2\alpha +c}{d{\sin }^2\alpha +e\sin \alpha \cos \alpha +f{\cos }^2\alpha }$，常通过分子分母同除以 ${\cos }^2\alpha$ 转化为关于 $\tan \alpha$ 的有理式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2004-江苏卷-17 解-同角三角函数基本关系
• 2004-福建理-02 单-同角三角函数的基本关系