2011-福建卷理-09 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及整数的奇偶性性质。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 对于函数 $f(x)=a\sin x+bx+c$（其中 $a,b\in \mathbf{R}$，$c\in \mathbf{Z}$），选取 $a,b,c$ 的一组值计算 $f(1)$ 和 $f(-1)$，所得出的正确结果一定不可能是 ()

A. 4 和 6　　　　B. 3 和 1　　　　C. 2 和 4　　　　D. 1 和 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算 $f(1)+f(-1)$，利用 $\sin (-x)=-\sin x$ 消去含参项 $a,b$。
2. 得到 $f(1)+f(-1)=2c$。
3. 由已知 $c\in \mathbf{Z}$，可知 $f(1)+f(-1)=2c$ 必须为偶数。
4. 计算各选项两数之和，排除和为奇数的选项。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

根据函数解析式 $f(x)=a\sin x+bx+c$， 分别计算 $f(1)$ 和 $f(-1)$：

$$f(1)=a\sin 1+b(1)+c=a\sin 1+b+c,$$ $$f(-1)=a\sin (-1)+b(-1)+c=-a\sin 1-b+c.$$

两式相加得：

$$f(1)+f(-1)=2c.$$

因为已知 $c\in \mathbf{Z}$（$c$ 为整数）， 所以 $2c$ 必为一个偶数，即 $f(1)+f(-1)$ 的结果必须为偶数。 逐项检验各选项中两数之和：

• 对 (A)：$4+6=10$（偶数，可能）；
• 对 (B)：$3+1=4$（偶数，可能）；
• 对 (C)：$2+4=6$（偶数，可能）；
• 对 (D)：$1+2=3$（奇数，不可能）。

因此，所得出的结果一定不可能是 1 和 2。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：奇函数性质 $g(-x)=-g(x)$ 的整体构作、对称中心点函数值之和 $f(x)+f(-x)=2f(0)=2c$。
• 核心方法：对称点代入相加消元（构造对偶式）。
• 避坑指南：切勿尝试联立方程去反解实数 $a$ 和 $b$，只需关注消参后参数 $c$ 的整数性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：利用奇函数性质将函数表示为奇函数与常数之和 $f(x)=g(x)+c$（其中 $g(x)=a\sin x+bx$ 为奇函数），图象关于点 $(0,c)$ 中心对称。
• 结论推广：若函数 $f(x)=g(x)+c$，其中 $g(x)$ 为奇函数，则对任意实数 $x_0$，恒有 $f(x_0)+f(-x_0)=2c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性
• 2013-四川卷理-14 填-函数奇偶性