2011-辽宁卷文-12 单-正切图象定解析式

本题导读

本题考查正切函数的图象与性质，以及由图象求解析式。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 已知函数 $f(x)=A\tan (\omega x+\phi )$（$\omega >0$，$|\phi |<\frac{\pi }{2}$），$y=f(x)$ 的部分图象如图，则 $f\left(\frac{\pi }{24}\right)=$ ()

A. $2+\sqrt{3}$　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $2-\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：由渐近线 $x=\frac{\pi }{8}$ 与点 $(0,1)$ 定 $\omega$
2. 步骤2：$\phi$
3. 步骤3：$A$
4. 步骤4：再代值

✅【答案】

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B$\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由图：$x=\frac{\pi }{8}$ 是一条渐近线（曲线在其左侧上升逼近），相邻支过点 $\left(\frac{3\pi }{8},0\right)$，且曲线过 $(0,1)$。

$\tan$ 的渐近线满足 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}$：$\omega \cdot \frac{\pi }{8}+\phi =\frac{\pi }{2}$；零点满足 $\omega x+\phi =0$：$\omega \cdot \frac{3\pi }{8}+\phi =0$。

两式相减：$\omega \cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，$\omega =2$；代回得 $\phi =-2\cdot \frac{3\pi }{8}=-\frac{3\pi }{4}$？不合 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$——注意 $\tan$ 的零点条件也可为 $\omega x+\phi =\pi$：取 $2\cdot \frac{3\pi }{8}+\phi =\pi$，得 $\phi =\frac{\pi }{4}$（满足 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，对应渐近线 $2\cdot \frac{\pi }{8}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ 自洽）。

由曲线过 $(0,1)$：$A\tan \frac{\pi }{4}=1$，$A=1$。

故 $f\left(\frac{\pi }{24}\right)=\tan \left(2\cdot \frac{\pi }{24}+\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切函数的渐近线与零点；由图象定 $A$，$\omega$，$\phi$；特殊角三角函数值

核心方法：渐近线定 $\omega x+\phi =\frac{\pi }{2}$、图上零点定 $\omega x+\phi =k\pi$（$k$ 取满足 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 的值），两方程联立；截距定 $A$

避坑指南：$\tan$ 的零点方程 $\omega x+\phi =k\pi$ 的 $k$ 要选得使 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$——取 $k=0$ 会得 $\phi =-\frac{3\pi }{4}$ 越界，取 $k=1$ 才对；$\tan$ 图象没有”最大值”可读，$A$ 只能靠图上标出的纵坐标 $1$ 来定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角图象定解析式题与 2011-新课标卷文-11、2014-陕西卷文-02 同族。

结论推广：推广：$y=A\tan (\omega x+\phi )$ 的渐近线间距为 $\frac{\pi }{\omega }$（半周期），零点与相邻渐近线相距 $\frac{\pi }{2\omega }$；与正弦型函数不同，$\tan$ 无界，$A$ 只影响纵向缩放，须依赖图上标值。

方法推广：图象定参题：先列”渐近线方程 + 零点方程”两条，解出 $\omega$ 与 $\phi$（对 $k$ 分支取定义域内的解），再用图上标注的纵坐标定 $A$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-11 单-三角函数图象性质
• 2014-陕西卷文-02 单-三角周期