2011-辽宁卷理-03 单-双曲线

本题导读

本题考查抛物线的定义，以及抛物线的焦半径公式。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 已知 $F$ 是抛物线 $y^2=x$ 的焦点，$A,B$ 是该抛物线上的两点，$|AF|+|BF|=3$，则线段 $AB$ 的中点到 $y$ 轴的距离为 ()

A. $\frac{3}{4}$　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. $\frac{5}{4}$　　　　　　　D. $\frac{7}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定抛物线准线方程，利用抛物线定义将焦半径转化为横坐标加准线距离。
2. 建立两点横坐标和与焦点弦长和的关系。
3. 利用中点横坐标公式求中点到 $y$ 轴的距离。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线方程为 $y^2=x=2px⟹2p=1⟹p=\frac{1}{2}$，其准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4}$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$。 由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，得： $|AF|=x_1+\frac{p}{2}=x_1+\frac{1}{4}$ $|BF|=x_2+\frac{p}{2}=x_2+\frac{1}{4}$ 则： $|AF|+|BF|=x_1+x_2+\frac{1}{2}=3⟹x_1+x_2=3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ 设线段 $AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，则中点 $M$ 的横坐标为： $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{2}=\frac{5}{4}$ 由于 $x_0>0$，故中点到 $y$ 轴的距离即为 $x_0=\frac{5}{4}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：抛物线的定义 $|PF|=x_0+\frac{p}{2}$。
• 核心方法：定义法转化，中点到 $y$ 轴的距离即为中点的横坐标 $|x_0|$。
• 避坑指南：审题注意方程是 $y^2=x$（准线为 $x=-\frac{1}{4}$），切勿看成标准形式 $y^2=2px$ 误设 $p=1$；注意问的是到 $y$ 轴距离还是到准线距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自圆锥曲线焦点几何性质中的焦半径公式应用。
• 结论推广：对抛物线 $y^2=2px$，线段 $AB$ 的中点到准线的距离为 $\frac{|AF|+|BF|}{2}$，到对称轴垂轴的距离为 $\frac{|AF|+|BF|}{2}-\frac{p}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义
• 2013-浙江卷理-15 填-抛物线定义与简单几何性质