2011-辽宁卷理-17 解-数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式与性质。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2=0$，$a_6+a_8=-10$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 求数列 $\left\{\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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1. 设等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为 $d$。由已知条件建立关于 $a_1$ 和 $d$ 的二元一次方程组，解出后写出通项公式 $a_n$。
2. 将通项公式代入得待求和数列的形式为 $(2-n)\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$，属于“等差 $\times$ 等比”型，采用错位相减法进行求和化简。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_6+a_8=2a_7=-10$，所以 $a_7=-5$。 又由 $a_2=0$，得： $a_7-a_2=5d⟹-5-0=5d⟹d=-1$ 因此： $a_1=a_2-d=0-(-1)=1$ 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)(-1)=2-n$

(2) 设数列 $\left\{\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$。 由 (1) 知 $\frac{a_n}{2^{n-1}}=\frac{2-n}{2^{n-1}}$， 则： $S_n=\frac{1}{1}+\frac{0}{2}+\frac{-1}{2^2}+\frac{-2}{2^3}+\cdots +\frac{2-n}{2^{n-1}}\text{(1)}$ 两边同乘以 $\frac{1}{2}$ 得： $\frac{1}{2}{S}_n=\frac{1}{2}+\frac{0}{2^2}+\frac{-1}{2^3}+\cdots +\frac{3-n}{2^{n-1}}+\frac{2-n}{2^n}\text{(2)}$ ① 式减去 ② 式得： $\frac{1}{2}{S}_n=1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2-n}{2^n}$ 中间括号内为等比数列求和： $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}$ 代入上式得： $\frac{1}{2}{S}_n=1-\left(1-\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\frac{2-n}{2^n}=\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{2-n}{2^n}=\frac{2}{2^n}-\frac{2-n}{2^n}=\frac{n}{2^n}$ 两边同乘以 2，得： $S_n=\frac{n}{2^{n-1}}$ 故数列 $\left\{\frac{a_n}{2^{n-1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{2^{n-1}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差中项性质 $a_6+a_8=2a_7$、基本量计算以及错位相减法求和。
• 核心方法：
• 巧用等差数列中项性质简化求公差方程；
• 错位相减求和时两边同乘公比 $\frac{1}{2}$，注意正负号对应。
• 避坑指南：
• 错位相减两式相减时，等差公差为 $-1$，逐项作差后注意符号变为负号；
• 最后一项 $-\frac{2-n}{2^n}$ 切勿漏写负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版教材数列一章中求差比数列和的经典示范题。
• 结论推广：对数列 $T_n={\sum }_{k=1}^n(Ak+B)q^{k-1}$，通项求和结果恒可表示为 $S_n=(Cn+D)q^n+E$ 的形式，可借助待定系数法验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 22.05 错位问题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-17 解-等差数列错位相减
• 2021-天津卷-19 解-数列综合
• 2003-北京卷理-16