2011-重庆卷理-05 单-对数函数

本题导读

本题考查复合函数的单调性，以及对数函数性质。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 下列区间中，函数 $f(x)=|\ln (2-x)|$ 在其上为增函数的是 ()

A. $(-\infty ,1]$　　　　B. $\left[-1,\frac{4}{3}\right]$　　　　C. $\left[0,\frac{3}{2}\right]$　　　　D. $[1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求函数定义域 $2-x>0⟹x<2$。
2. 依据绝对值内正负去绝对值符号化为分段函数。
3. 分别分析两段的增减性并匹配选项区间。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数定义域需满足 $2-x>0⟹x<2$。 当 $\ln (2-x)⩾0$ 时，即 $2-x⩾1⟹x⩽1$， $f(x)=\ln (2-x)$。由于 $u=2-x$ 在 $(-\infty ,1]$ 上单调递减，$\ln u$ 单调递增，故 $f(x)$ 在 $(-\infty ,1]$ 上单调递减。 当 $\ln (2-x)<0$ 时，即 $0<2-x<1⟹1<x<2$， $f(x)=-\ln (2-x)$。由于 $u=2-x$ 在 $(1,2)$ 上单调递减，$-\ln u$ 单调递减，根据“同增异减”，$f(x)$ 在 $[1,2)$ 上单调递增。 对比各选项，只有区间 $[1,2)$ 位于增区间内。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数定义域限制、对数与绝对值复合的单调性分析。
• 核心方法：分段去绝对值法与复合函数单调性“同增异减”规则。
• 避坑指南：切忌忽略真数大于 0 的定义域边界 $x<2$；跨越分界点 $x=1$ 的区间不具有单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：翻折变换图像 $y=|g(x)|$ 的解析化考查。
• 结论推广：对 $f(x)=|g(x)|$，其在 $g(x)⩾0$ 上的单调性与 $g(x)$ 相同；在 $g(x)<0$ 上的单调性与 $g(x)$ 相反。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 2001-豫粤卷-09 单-函数的单调性
• 2008-安徽卷文-13 填-根式对数定义域