2011-重庆卷理-07 单-抛物线

本题导读

本题考查基本不等式，以及“1”的代换技巧。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 已知 $a>0,b>0,a+b=2$，则 $y=\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值是 ()

A. $\frac{7}{2}$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $\frac{9}{2}$　　　　　　　D. $5$

🔍【思路分析】

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1. 利用已知条件 $a+b=2$ 构造常数因子 $\frac{a+b}{2}=1$。
2. 将待求式乘以 $\frac{a+b}{2}$ 展开后利用基本不等式求解。
3. 验证等号成立的条件。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $a>0,b>0,a+b=2$，所以 $\frac{a+b}{2}=1$。 $y=\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)\times 1=\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}+4\right)=\frac{1}{2}\left(5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\right)$。 由基本不等式，$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}⩾2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{4a}{b}}=4$。 所以 $y⩾\frac{1}{2}(5+4)=\frac{9}{2}$。 当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{4a}{b}$ 且 $a+b=2$，即 $b=2a⟹a=\frac{2}{3},b=\frac{4}{3}$ 时取等号。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：基本不等式求条件最值。
• 核心方法：“1”的代换（将已知定值条件构造为 1 乘入式子）。
• 避坑指南：必须验证等号成立的条件（一正、二定、三相等），防范无解情形。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：柯西不等式二项形式的直接退化特例。
• 结论推广：若 $x,y>0$ 且 $x+y=k$，则 $\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}$ 的最小值为 $\frac{(m+n{)}^2}{k}$（柯西不等式形式：$\left(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\right)(x+y)⩾(m+n{)}^2$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-05 单-基本不等式
• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围