2011-重庆卷理-14 填-二倍角

本题导读

本题考查三角函数两角差的余弦/正弦公式，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(理)） 已知 $\sin \alpha =\frac{1}{2}+\cos \alpha$，且 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\frac{\cos 2\alpha }{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 移项整理已知条件：$\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{1}{2}$。
2. 展开分子与分母：

• 分子 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )$。
• 分母利用和差角展开：$\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha -\cos \alpha )$。

3. 分子分母约分后，问题转化为求 $\sin \alpha +\cos \alpha$ 的值。
4. 利用 $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=2$ 求出 $\sin \alpha +\cos \alpha$ 并注意符号。

✅【答案】

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$-\frac{\sqrt{14}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件得： $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{1}{2}$。 对分母进行变形： $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha -\cos \alpha )$。 对分子应用二倍角公式： $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =-({\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha )=-(\sin \alpha -\cos \alpha )(\sin \alpha +\cos \alpha )$。 因此待求式为： $\frac{\cos 2\alpha }{\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)}=\frac{-(\sin \alpha -\cos \alpha )(\sin \alpha +\cos \alpha )}{\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha -\cos \alpha )}=-\sqrt{2}(\sin \alpha +\cos \alpha )$。 因为 $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=2({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=2$， 所以 $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$。 又 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $\sin \alpha >0,\cos \alpha >0$，故 $\sin \alpha +\cos \alpha >0$， 所以 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{7}}{2}$。 代入得： 原式 $=-\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{7}}{2}=-\frac{\sqrt{14}}{2}$。

故答案为：$-\frac{\sqrt{14}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二倍角余弦公式、辅助角分解、$(\sin \alpha \pm \cos \alpha )$ 与 $2\sin \alpha \cos \alpha$ 的转化。
• 核心方法：因式分解消元与平方关系代数求值。
• 避坑指南：展开 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 时注意提负号；根据角 $\alpha$ 的范围确定 $\sin \alpha +\cos \alpha$ 的正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源于三角恒等变换基础题型，重在考查“和、差、积”三者的平方式互动。
• 结论推广：对任意角 $\alpha$，若 $\sin \alpha -\cos \alpha =t$（$|t|⩽\sqrt{2}$），则 $\sin \alpha +\cos \alpha =\pm \sqrt{2-t^2}$，式中符号由 $\alpha$ 所在象限确定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-08 单-三角恒等变换
• 1977-福建卷-02(2)
• 2004-天津理-17 解-两角和的正切公式