2011-陕西卷文-11 填-分段函数指对复合

本题导读

本题考查分段函数求值，以及指数与对数的互逆运算。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lg x,& x>0,\\ 10^x,& x⩽0.\end{array}$　则 $f(f(-2))=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先由 $-2⩽0$ 走指数支得 $f(-2)=10^{-2}$
2. 步骤2：再代对数支

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $-2⩽0$，走第二段解析式：$f(-2)=10^{-2}=\frac{1}{100}>0$。

代入对数支：$f(f(-2))=\lg 10^{-2}=-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数的复合求值；$10^x$ 与 $\lg x$ 互为反函数

核心方法：逐层代入并核对自变量所在区间，选对解析式分支

避坑指南：第一层就判断区间：$-2⩽0$ 用指数支而不是对数支（$\lg (-2)$ 无意义）；第二层 $10^{-2}>0$ 用对数支。两支以 $x=0$ 分界且 $x=0$ 归指数支，含在边界上的取值要特别核对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数复合求值题与 2012-陕西卷文-11、2012-福建卷文-09、2013-福建卷文-13 同族。

结论推广：推广：$y=a^x$（$a>0$，$a\ne 1$）与 $y={\log }_{a}x$ 互为反函数，复合一层即还原：$f(f(x))=x$ 在跨分支处成立，这是本题结构的本质。

方法推广：分段函数求值：像走迷宫一样逐层判断区间选支，最后核对每一步的定义域合法性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-11 填-分段函数复合求值
• 2012-福建卷文-09 单-分段函数复合求值
• 2013-福建卷文-13 填-分段函数求值