2011-陕西卷理-06 单-三次函数

本题导读

本题考查函数的零点与方程的根，以及导数与单调性。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 函数 $f(x)=\sqrt{x}-\cos x$ 在 $[0,+\infty )$ 内 ()

A. 没有零点　　　　　　　　　　　　　　　B. 有且仅有一个零点

C. 有且仅有两个零点　　　　　　　　　　　D. 有无穷多个零点

🔍【思路分析】

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1. 方程 $f(x)=0$ 等价于 $\sqrt{x}=\cos x$。
2. 考查两曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $y=\cos x$ 在 $[0,+\infty )$ 上的交点：

• 当 $x>1$ 时，$\sqrt{x}>1$，而 $\cos x⩽1$，两者不可能相等；
• 当 $x\in [0,1]$ 时，$y=\sqrt{x}$ 单调递增，$y=\cos x$ 单调递减，两者在 $[0,1]$ 内必有且仅有一个交点。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=0⟺\sqrt{x}=\cos x$。 在同一坐标系下分析 $y_1=\sqrt{x}$ 与 $y_2=\cos x$ 在 $[0,+\infty )$ 上的图象交点：

• 当 $x>1$ 时，$\sqrt{x}>1$，而对于任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒有 $\cos x⩽1$，因此当 $x>1$ 时 $\sqrt{x}>\cos x$ 恒成立，此时两图象无交点。
• 当 $x\in [0,1]$ 时： $f(0)=\sqrt{0}-\cos 0=-1<0$； $f(1)=\sqrt{1}-\cos 1=1-\cos 1>0$（因为 $1\text{ rad}\approx 57.3^{\circ }$，$\cos 1<1$）。 因为函数 $f(x)=\sqrt{x}-\cos x$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $y=\sqrt{x}$ 单调递增，$y=-\cos x$ 在 $[0,1]\subset [0,\pi ]$ 上亦单调递增， 所以 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调递增。 由零点存在性定理及单调性可知，函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 内有且仅有一个零点。 综上所述，函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 内有且仅有一个零点。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：函数零点个数的判定、单调性与零点存在性定理、数形结合。
• 核心方法：
• 范围缩放法：利用正余弦函数有界性 $|\cos x|⩽1$，迅速锁定零点可能存在的区间为 $[0,1]$；
• 单调递增叠加：增函数减减函数为增函数，直接确定根的唯一性。
• 避坑指南：容易忽略 $\cos x$ 具有周期性波动，误以为有无穷多个交点（误选 D）；通过 $\sqrt{x}>1$ 的有界性截断即可有效排除后续区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修一与必修四函数零点章节中超越方程求根个数的典型考题。
• 结论推广：对于方程 $g(x)=\cos x$（其中 $g(x)$ 为递增函数且 $g(x_0)=1$），方程的实根必全部限制在满足 $|g(x)|⩽1$ 的有限区间内。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2021-北京卷-15 填-函数零点
• 2021-天津卷-20 解-导数综合
• 2006-湖南卷理-08 单-集合的包含关系与真子集