2011-陕西卷理-17 解-椭圆综合

本题导读

本题考查动点轨迹方程的求法。

📌【题干】

Question

（2011年陕西卷(理)） 如图，设 $P$ 是圆 $x^2+y^2=25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影，$M$ 为 $PD$ 上一点，且 $|MD|=\frac{4}{5}|PD|$.

(1) 当 $P$ 在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2) 求过点 $(3,0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

🔍【思路分析】

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1. 对 (1)：设点 $M(x,y)$，$P(x_0,y_0)$。根据 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影，可知 $D(x_0,0)$，且 $M$ 在线段 $PD$ 上，从而 $x=x_0$。由 $|MD|=\frac{4}{5}|PD|$ 得 $y$ 与 $y_0$ 同号且满足 $y=\frac{4}{5}{y}_0$（或由向量关系 $\overrightarrow{DM}=\frac{4}{5}\overrightarrow{DP}$ 直接得出）。反解出 $x_0,y_0$ 代入圆的方程即可求得轨迹 $C$。
2. 对 (2)：写出直线方程 $y=\frac{4}{5}(x-3)$，与椭圆方程联立消去 $y$，利用根与系数的关系（韦达定理）及弦长公式计算弦长。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 设点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$，点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$。 因为点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， 所以点 $D$ 的坐标为 $(x_0,0)$。 由点 $M$ 在线段 $PD$ 上，且 $|MD|=\frac{4}{5}|PD|$，可知点 $M$ 与点 $P$ 的横坐标相同，纵坐标同号， 即： $\{\begin{array}{l}x=x_0\\ y=\frac{4}{5}{y}_0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_0=x\\ y_0=\frac{5}{4}y\end{array}$ 因为点 $P(x_0,y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=25$ 上运动，所以： $x_0^2+y_0^2=25$ 将 $x_0=x$，$y_0=\frac{5}{4}y$ 代入上式，得： $x^2+{\left(\frac{5}{4}y\right)}^2=25⟹x^2+\frac{25}{16}{y}^2=25$ 两边同除以 25，化为标准方程： $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 故点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。

(2) 由题意，过点 $(3,0)$ 且斜率为 $k=\frac{4}{5}$ 的直线方程为： $y-0=\frac{4}{5}(x-3)⟹y=\frac{4}{5}(x-3)$ 联立直线方程与曲线 $C$ 的方程： $\{\begin{array}{l}y=\frac{4}{5}(x-3)\\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}$ 将 $y=\frac{4}{5}(x-3)$ 代入椭圆方程中，得： $\frac{x^2}{25}+\frac{\frac{16}{25}(x-3{)}^2}{16}=1$ $\frac{x^2}{25}+\frac{(x-3{)}^2}{25}=1$ 去分母得： $x^2+(x-3{)}^2=25$ $x^2+x^2-6x+9=25$ $2x^2-6x-16=0⟹x^2-3x-8=0$ 设直线与曲线 $C$ 交于两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$， 因为判别式 $\Delta =(-3{)}^2-4\times 1\times (-8)=9+32=41>0$， 由韦达定理得： $x_1+x_2=3,x_1{x}_2=-8$ 则： $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=3^2-4\times (-8)=9+32=41$ 根据弦长公式： $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}\sqrt{41}=\sqrt{\frac{41}{25}}\times \sqrt{41}=\frac{41}{5}$ 故直线被 $C$ 所截线段的长度为 $\frac{41}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相关点法求轨迹方程、圆与椭圆的伸缩变换关系、弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$。
• 核心方法：
• 设所求点为 $(x,y)$，已知动点为 $(x_0,y_0)$，建立对应关系后反解代入；
• 联立方程后先检验 $\Delta >0$，再利用韦达定理整体代入计算弦长。
• 避坑指南：
• 坐标代换时务必反解：$y_0=\frac{5}{4}y$，切勿误代为 $y=\frac{4}{5}{y}_0\to {\left(\frac{4}{5}y\right)}^2$；
• 弦长公式开方时注意分母 $\sqrt{25}=5$，分子 $\sqrt{41}\times \sqrt{41}=41$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自人教版选修2-1椭圆第一节“用相关点法推导椭圆轨迹”，属于将圆通过纵向均匀压缩得到椭圆的经典伸缩变换几何模型。
• 结论推广：圆 $x^2+y^2=R^2$ 上的动点 $P(x_0,y_0)$，向 $x$ 轴作垂线，垂足为 $D$，点 $M$ 在线段 $PD$ 上且满足 $\overrightarrow{DM}=\lambda \overrightarrow{DP}(0<\lambda <1)$，则点 $M$ 的轨迹方程为椭圆 $\frac{x^2}{R^2}+\frac{y^2}{(\lambda R{)}^2}=1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.01回归分析与线性拟合
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1991-全国卷理-26
• 2002-上海卷理-18 解-双曲线的定义与标准方程
• 2007-大纲卷I理-21 解-对角线垂直四边形面积公式