2012-上海卷理-04 填-直线倾斜角

本题导读

本题考查直线的法向量与方向向量的关系，以及由斜率求倾斜角的方法。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 若 $\vec{n}=(-2,1)$ 是直线 $l$ 的一个法向量，则 $l$ 的倾斜角的大小为 $\underline{}$.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

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1. 由法向量找方向向量：设法向量的垂向量 $\vec{v}=(a,b)$，满足 $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$。
2. 计算斜率：取 $\vec{v}=(1,2)$，由两点式比值得到 $k=2$。
3. 反解倾斜角：由 $k=\tan \alpha$ 且 $\alpha \in [0,\pi )$，用反三角函数表示结果。

✅【答案】

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$\arctan 2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求直线的一个方向向量 设法向量的垂向量为 $\vec{v}=(a,b)$，由 $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$ 得 $-2a+b=0$ 取 $a=1$ 得 $b=2$，故 $\vec{v}=(1,2)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量。

第二步：求直线的斜率 $k=\frac{2}{1}=2$ （也可直接使用公式 $k=-\frac{A}{B}$，其中 $\vec{n}=(A,B)=(-2,1)$，同样得 $k=2$。）

第三步：求倾斜角 设倾斜角为 $\alpha \in [0,\pi )$，由 $\tan \alpha =k=2>0$ 可知 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，于是 $\alpha =\arctan 2$

故填入答案为：$\arctan 2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：法向量、方向向量、斜率与倾斜角四个概念之间的互化关系 $k=\tan \alpha$。

核心方法：“垂直代换”。已知法向量 $\vec{n}=(A,B)$ 时，斜率可直接由 $k=-\frac{A}{B}$ 得到。

避坑指南：- 倾斜角的取值范围是 $[0,\pi )$，结果不必再添加 $k\pi$。 - 由 $k=-\frac{A}{B}$ 计算时应得 $k=-\frac{-2}{1}=2$，误把 $-2$ 当作横纵坐标之比会得到 $-\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量垂直的坐标表示、直线的斜率公式与倾斜角定义。

结论推广：直线 $Ax+By+C=0$ 的法向量为 $(A,B)$，方向向量可取 $(B,-A)$，斜率 $k=-\frac{A}{B}$（$B\ne 0$）。

方法推广：解析几何中凡是给出向量条件（平行、垂直、夹角），一律先翻译成坐标方程或斜率关系，再进入常规计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率 类题演练 (Links)

• 1989-广东理-01 单-直线的倾斜角

• 2004-湖南文-02 单-直线倾斜角

• 2010-辽宁卷文-12 单-切线倾斜角范围