2012-上海卷理-06 填-数列极限

本题导读

本题考查等比数列的通项与前 $n$ 项和，以及无穷递缩等比数列各项和的计算。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 有一列正方体，棱长组成以 $1$ 为首项、$\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列，体积分别记为 $V_1,V_2,\cdots ,V_n,\cdots$，则 ${\lim }_{n\to \infty }(V_1+V_2+\cdots +V_n)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出棱长数列：棱长构成首项 $1$、公比 $\frac{1}{2}$ 的等比数列。
2. 转化为体积数列：体积是棱长的三次方，得到新的公比。
3. 套用无穷和公式：由 $S=\frac{a_1}{1-q}$ 求出极限值。

✅【答案】

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$\frac{8}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出棱长数列 第 $n$ 个正方体的棱长为 $a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

第二步：写出体积数列 $V_n=a_n^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3(n-1)}={\left(\frac{1}{8}\right)}^{n-1}$ 可见 $\{V_n\}$ 是首项 $V_1=1$、公比 $q=\frac{1}{8}$ 的等比数列，且 $|q|=\frac{1}{8}<1$，满足无穷求和的条件。

第三步：求无穷项之和 ${\lim }_{n\to \infty }(V_1+V_2+\cdots +V_n)=\frac{V_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{1}{\frac{7}{8}}=\frac{8}{7}$

故填入答案为：$\frac{8}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项公式与前 $n$ 项和公式，以及无穷递缩等比数列各项和。

核心方法：“降维转化”。先由棱长与体积的对应关系把几何问题翻译成等比数列求和问题，再套用公式。

避坑指南：- 体积数列的公比是 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$ 而不是 $\frac{1}{2}$，跳过这一步换算会直接导致结果错误。 - 使用 $\frac{a_1}{1-q}$ 的前提是 $|q|<1$，解题时应先确认条件再代入数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列的前 $n$ 项和公式、数列极限的四则运算。

结论推广：若棱长（或边长）构成公比为 $q$ 的等比数列，则面积构成公比 $q^2$、体积构成公比 $q^3$ 的等比数列。

方法推广：遇到“无穷多项求和”的问题，先判定是否为无穷递缩等比数列，再用 $S=\frac{a_1}{1-q}$，也可先写出 $S_n$ 再令 $n\to \infty$ 取极限。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结 类题演练 (Links)

• 1987-广东理-30 填-数列的极限

• 1998-上海理-03 填-函数极限求参数

• 2013-北京卷理-10 填-等比数列通项