2012-上海卷理-11 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的概率计算，以及分类计数在“恰好两人相同”情形中的运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 $\underline{}$.（结果用最简分数表示）

🔍【思路分析】

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1. 算总样本数：每人从 $3$ 个项目中选 $2$ 个，各有 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种选法。
2. 分类计数：把三人选择相同与否分成“三人全相同”“三人全不同”“恰有两人相同”三类。
3. 求概率：用目标情形数除以总样本数 $27$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算基本事件总数 每人都从跳高、跳远、铅球 $3$ 个项目中选择 $2$ 个，选法数为 ${\mathrm{C}}_3^2=3$。 三位同学的选法相互独立，故基本事件总数为 $3\times 3\times 3=27$

第二步：对“三人全相同”与“三人全不同”计数 三名同学所选项目完全相同：先从 $3$ 种组合中选定一种，共 ${\mathrm{C}}_3^1=3$ 种情形。 三名同学所选项目两两不同：即把 $3$ 种组合分配给 $3$ 个人，共 $3!=6$ 种情形。

第三步：计算目标事件的概率 “有且仅有两人选择的项目完全相同”的情形数为 $27-3-6=18$ 故所求概率为 $P=\frac{18}{27}=\frac{2}{3}$

故填入答案为：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型中基本事件的计数与概率计算。

核心方法：“分类计数”。先求总数，再用“排除法”把不符合条件的情形（全相同、全不同）剔除。

避坑指南：- 不要把“三人全相同”漏算：它不属于“有且仅有两人相同”，必须从目标情形中扣除。 - 概率要化成最简分数 $\frac{2}{3}$，写成 $\frac{18}{27}$ 通常不得分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分步乘法计数原理、组合数公式、古典概型的定义。

结论推广：$n$ 个人各从 $m$ 种方案中独立选择时，总情形数为 $m^n$，再按“相同的人数分布”分类讨论即可。

方法推广：计数类概率题宜用“总数减去反面情形”的思路，分类时确保各情形之间既不重复也不遗漏。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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