本题导读
本题考查四面体体积的最值问题，以及对棱互相垂直时体积公式的灵活选用。
📌【题干】
Question
（2012年上海卷(理)） 如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱，.若 ，且 ，其中 为常数，则四面体 的体积的最大值是 .
!
🔍【思路分析】
破题导航
- 选体积公式：当 时，，其中 为两条异面直线的公垂线段长。
- 识别轨迹：由 知 均在以 为焦点的椭球面上。
- 最大化 ：由 得 同高，把问题化为圆盘内长为 的弦到圆心的最大距离。
✅【答案】
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✍【详细解析】
Abstract
第一步：写出适用的体积公式 当两条对棱 与 互相垂直时，四面体的体积可表示为 其中 是异面直线 与 之间的距离（公垂线段的长）。代入 ， 得 因此只需求出 的最大值。
第二步：确定动点 的轨迹 取 的中点 为坐标原点， 所在直线为 轴，则 ，。 由 可知点 在以 为焦点、长半轴为 的旋转椭球面上，其在高度为 的水平截面上的圆半径为 点 由 满足同样的条件，故也在同一椭球面上。
第三步：由 推出 等高并求 因为 ，而 平行于 轴，故直线 的方向向量的 分量为 ，即点 与点 具有相同的高度，设为 。 此时两条异面直线之间的距离 就是轴线上的点 到直线 的距离。点 都落在半径为 的圆盘内，而弦 长为 ，故圆心到该弦的距离的最大值为
第四步：取最值并得体积最大值 在 时取最大值 ，于是 代入体积公式得
故填入答案为：。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：四面体体积的“对棱垂直”专用公式，以及椭球面（椭圆）轨迹的识别。
核心方法：“几何法”。先用体积公式把最大化目标转化为公垂距的最大化，再用截面圆盘内的弦长约束求最值。
避坑指南：- 这里不能用常规公式 直接计算，因为底面面积与高都不易表达；应改用含两条对棱的体积公式。 - 若不做 等高的分析，就会错误地认为 可以任意大；垂直条件正是约束的关键。 - 根号内必须满足 ，否则所求的最值情形不存在。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：椭圆的定义（到两定点距离之和为常数）、旋转体的截面性质、棱锥体积公式。
结论推广：一般地，若两条长为 、夹角为 的线段是四面体的一对对棱，且它们的距离为 ，则体积 。
方法推广：立体几何中的最值问题，通常先把目标量表示为某个几何距离的函数，再借助轨迹（圆、球、椭球）的截面性质完成最大化。
🔗【关联脉络】
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