2012-上海卷理-19 解-线面垂直与异面角

本题导读

本题考查线面垂直关系在求三角形面积中的作用。核心在于坐标法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$E$ 是 $PC$ 的中点.已知 $AB=2$，$AD=2\sqrt{2}$，$PA=2$.求：

(1) 三角形 $PCD$ 的面积；

(2) 异面直线 $BC$ 与 $AE$ 所成的角的大小.

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🔍【思路分析】

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1. 第一问定位直角三角形：由 $PA\perp$ 底面得 $CD\perp$ 平面 $PAD$，从而 $△PCD$ 在 $D$ 处为直角。
2. 计算边长：用勾股定理求出 $PD$，面积即为两条直角边乘积的一半。
3. 第二问转化异面角：由 $BC\parallel AD$，把所求角转化为 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AE}$ 的夹角，用坐标法处理。

✅【答案】

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(1) $2\sqrt{3}$

(2) $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：证明 $△PCD$ 是直角三角形 因为 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $PA\perp CD$。 又因为底面 $ABCD$ 是矩形，故 $CD\perp AD$。 $PA$ 与 $AD$ 是平面 $PAD$ 内两条相交直线，故 $CD\perp$ 平面 $PAD$，进而 $CD\perp PD$。 因此 $△PCD$ 是以点 $D$ 为直角顶点的直角三角形。

第二步：计算 $△PCD$ 的面积 在 $\mathrm{Rt}△PAD$ 中，$PA=2$，$AD=2\sqrt{2}$，故 $PD=\sqrt{P{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{4+8}=2\sqrt{3}$ 又 $CD=AB=2$，于是 $S_{△PCD}=\frac{1}{2}\times CD\times PD=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

第三步：建立空间直角坐标系 以 $A$ 为原点，$AB,AD,AP$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。由已知得 $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2\sqrt{2},0),C(2,2\sqrt{2},0),P(0,0,2)$ $E$ 为 $PC$ 的中点，故 $E\left(1,\sqrt{2},1\right)$

第四步：求异面直线所成的角 由 $BC\parallel AD$，异面直线 $BC$ 与 $AE$ 所成的角等于 $AD$ 与 $AE$ 所成的角。 $\overrightarrow{AD}=(0,2\sqrt{2},0),\overrightarrow{AE}=(1,\sqrt{2},1)$ $\cos ⟨\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}⟩=\frac{\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AE}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{AE}|}=\frac{2\sqrt{2}\times \sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times \sqrt{1+2+1}}=\frac{4}{2\sqrt{2}\times 2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 故所求角为 $45^{\circ }$。

综上，(1) $△PCD$ 的面积为 $2\sqrt{3}$；(2) 异面直线 $BC$ 与 $AE$ 所成的角为 $45^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与性质（把线线垂直升级为线面垂直）；异面直线所成角的求法。

核心方法：“几何法打底、坐标法收尾”。第一问用垂直关系锁定直角三角形，第二问建系用向量夹角公式直接计算。

避坑指南：- 求 $△PCD$ 面积时不要默认它是一般三角形而使用复杂的面积公式，先证明直角会更简洁。 - 异面直线所成角的取值范围是 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，若算出的余弦值为负，应取其绝对值。 - 用 $BC\parallel AD$ 作等价转化时必须交代清楚，直接对 $BC$ 与 $AE$ 取向量是不成立的。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直的判定定理、勾股定理、空间向量夹角公式、平行线的等角性质。

结论推广：若 $PA\perp$ 矩形底面 $ABCD$，则 $△PAB$、$△PAD$、$△PBC$、$△PCD$ 均为直角三角形，这是处理四棱锥类问题的常用结构。

方法推广：立体几何中“先证垂直关系、后计算长度；先找平行线、后求异面角”是两条通用的操作主线。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.07三角形五心与奔驰定理 类题演练 (Links)

• 2012-江西卷理-10 单-异面直线角

• 2014-新课标II卷理-11 单-异面直线所成的角

• 2013-浙江卷文-20 解-线面垂直与线面角