2012-北京卷文-18 解-公共切线与区间最值

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于反解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^2+1$（$a>0$），$g(x)=x^3+bx$.

(1)若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在它们的交点 $(1,c)$ 处具有公共切线，求 $a$，$b$ 的值；

(2)当 $a=3$，$b=-9$ 时，若函数 $f(x)+g(x)$ 在区间 $[k,2]$ 上的最大值为 $28$，求 $k$ 的取值范围.（本小题共 $13$ 分）

🔍【思路分析】

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（1）$a=b=3$；（2）$h(x)=x^3+3x^2-9x+1$ 在 $x=-3$ 取最大值 $28$，故 $k⩽-3$。

✅【答案】

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(1)$a=3$，$b=3$

(2)$k\in (-\infty ,-3]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）交点 $(1,c)$ 在两曲线上：$c=f(1)=a+1$，$c=g(1)=1+b$，故 $a=b$。

公共切线即切线斜率相等：$f^{\prime }(x)=2ax$，$g^{\prime }(x)=3x^2+b$，故 $f^{\prime }(1)=g^{\prime }(1)$，即 $2a=3+b$。

联立 $a=b$ 与 $2a=3+b$，得 $a=3$，$b=3$。

（2）$h(x)=f(x)+g(x)=3x^2+1+x^3-9x=x^3+3x^2-9x+1$，$h^{\prime }(x)=3x^2+6x-9=3(x+3)(x-1)$。

故 $h(x)$ 在 $(-\infty ,-3)$ 上递增，$(-3,1)$ 上递减，$(1,+\infty )$ 上递增；极大值 $h(-3)=-27+27+27+1=28$，$h(2)=8+12-18+1=3$。

区间 $[k,2]$ 上最大值为 $28$：

若 $k⩽-3$，则 $-3\in [k,2]$，最大值为 $h(-3)=28$，符合；

若 $k>-3$，区间不含 $-3$，则 $h(k)⩽28$ 且等号仅在 $k=-3$ 取得，$h(2)=3<28$，最大值小于 $28$（$k\in (-3,1]$ 时 $h(k)<28$；$k\in (1,2]$ 时最大值 $h(2)=3$），不符合。

故 $k$ 的取值范围为 $(-\infty ,-3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义；两曲线的公共切线；闭区间上的最值

核心方法：交点 + 切线斜率相等双条件 → 求导画趋势图 → 最值位置反解区间端点

避坑指南：公共切线的条件是”同一点、同斜率”（不是仅斜率相等）；（2）中 $h(x)$ 无上界（$x\to +\infty$），最大值只能靠 $x=-3$ 的极大值 $28$ 达成，$k⩽-3$ 时 $-3$ 必须落在区间内。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数与切线、区间最值综合题，与 2013 年北京卷文第 18 题（导数切线交点）、2013 年大纲卷文第 10 题（导数与切线）同族。

结论推广：一般地，两曲线在公共点处有公共切线 ⟺ 函数值相等且导数值相等；三次函数在闭区间上的最值由极大（小）值点与端点值共同竞争。

方法推广：切线问题列两个方程（值相等、导相等）；区间最值问题先列极值与端点值表，再由”最大值 $=M$“反解区间端点范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-18 解-导数切线交点
• 2013-大纲卷文-10 单-导数与切线