2012-北京卷理-03 单-向量

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，以及纯虚数。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(理)） 设 $a,b\in \mathbb{R}$．“$a=0$”是“复数 $a+bi$ 是纯虚数”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确纯虚数的代数定义：复数 $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ 为纯虚数的充要条件是 $\{\begin{array}{l}a=0\\ b\ne 0\end{array}$。
2. 判定充分性：由 $a=0$ 能否推出 $a+bi$ 是纯虚数。考虑 $b$ 的取值。
3. 判定必要性：由 $a+bi$ 是纯虚数能否推出 $a=0$。
4. 综合充分性与必要性的结论得出最终选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：充分性判定

设条件 $p:a=0$，结论 $q:a+bi$ 是纯虚数。 当 $a=0$ 时，复数简化为 $bi$。

• 若取 $b=0$，则复数为 $0$。由于实数 $0$ 的虚部为 0，它是实数，不是纯虚数；
• 若取 $b\ne 0$，则复数 $bi$ 是纯虚数。

因为当 $a=0$ 时，复数 $a+bi$ 不一定是纯虚数（存在反例 $b=0$），所以 $p⟹q$ 不成立，即充分性不成立。

第二步：必要性判定

若复数 $a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ 是纯虚数，根据纯虚数的几何与代数定义，该复数的实部必须严格等于 0，且虚部严格不等斜于 0，即： $\{\begin{array}{l}a=0\\ b\ne 0\end{array}$

由该充要条件分支显然可以推出 $a=0$ 恒成立。 所以 $q⟹p$ 成立，即必要性成立。

第三步：综合得出结论

综上所述，“$a=0$”是“复数 $a+bi$ 是纯虚数”的必要而不充分条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：纯虚数定义中虚部不为 0 的隐藏约束；充分、必要条件的逻辑箭头发向控制。
2. 核心方法：反例验证法（利用 $b=0$ 否定充分性）。
3. 避坑指南：

• 极易忽略复数中 $b\ne 0$ 的限制。很多考生仅注意到纯虚数的实部为 0，便想当然地认为 $a=0$ 与纯虚数等价，从而错选 C。请牢记：实数 $0$ 是一个特殊的复数（实部为0，虚部为0），它属于实数系，绝不是虚数，更不是纯虚数。
• 严格理清逻辑因果关系：“$A$ 是 $B$ 的什么条件”等价于由 $A$ 推 $B$ 校验充分性，由 $B$ 推 $A$ 校验必要性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2012年北京卷高考理科数学第3题，将基本概念的“挖坑”考查与逻辑用语完美融合，是高考考查复数概念的经典大类构型。
2. 结论推广： 复数 $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ 相关的充要条件流形可归纳如下：

• “$a=0$”是“$z$ 为纯虚数”的必要而不充分条件（反例 $b=0$）；
• “$b=0$”是“$z$ 为实数”的充分必要条件；
• “$a\ne 0$ 且 $b\ne 0$”是“$z$ 为非纯虚数的虚数”的充分必要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语 类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-07 单-充分必要条件判定

• 2013-浙江卷理-04 单-充分必要条件判定

• 2014-上海卷理-15 单-充分必要条件判定