2012-四川卷理-04 单-正弦值

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理在几何图形中的应用，以及边角互化求值。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

如图，正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$，延长 $BA$ 至 $E$，使 $AE=1$，连接 $EC,ED$，则 $\sin \angle CED=$()

A. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{10}$

D. $\frac{\sqrt{5}}{15}$

🔍【思路分析】

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1. 由正方形边长与 $AE=1$，确定 $△CED$ 各边长。

2. 用余弦定理求 $\cos \angle CED$，再由同角关系求 $\sin$。

3. 也可用面积法或坐标法。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

正方形边长为 $1$，$AE=1$，故 $CE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$DE=\sqrt{(1+1{)}^2+1^2}=\sqrt{5}$，$CD=1$。

在 $△CED$ 中由余弦定理：

$\cos \angle CED=\frac{C{E}^2+D{E}^2-C{D}^2}{2\cdot CE\cdot DE}=\frac{2+5-1}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}}=\frac{6}{2\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$

所以 $\sin \angle CED=\sqrt{1-{\cos }^2\angle CED}=\sqrt{1-\frac{9}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理求角

核心方法：同角三角函数基本关系

避坑指南：几何图形中边角关系的建立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于解三角形中的余弦定理

结论推广：可推广到一般四边形或立体图形中的角

方法推广：几何法（余弦定理）与坐标法均可

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-09 填-余弦定理标准式

• 2005-上海卷理-17 解-异面直线所成的角

• 2005-全国卷III理-19 解-正弦定理与余弦定理