2012-四川卷理-09 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划的实际应用，以及约束条件下目标函数最值的求解。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品 $1$ 桶需耗 $A$ 原料 $1$ 千克、$B$ 原料 $2$ 千克；生产乙产品 $1$ 桶需耗 $A$ 原料 $2$ 千克、$B$ 原料 $1$ 千克.每桶甲产品的利润是 $300$ 元，每桶乙产品的利润是 $400$ 元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 $A,B$ 原料都不超过 $12$ 千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()

A. $1800$ 元

B. $2400$ 元

C. $2800$ 元

D. $3100$ 元

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设生产甲 $x$ 桶、乙 $y$ 桶，列出约束条件与目标函数。

2. 约束：$x+2y⩽12$，$2x+y⩽12$，$x,y⩾0$。目标 $z=300x+400y$。

3. 画可行域，求顶点，代入比较最大值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设生产甲 $x$ 桶、乙 $y$ 桶，利润 $z=300x+400y$。

约束条件：$\{\begin{array}{l}x+2y⩽12\\ 2x+y⩽12\\ x,y⩾0\end{array}$

可行域顶点：$(0,0)$、$(0,6)$、$(6,0)$、$(4,4)$。

代入 $z$：$z(0,0)=0$，$z(0,6)=2400$，$z(6,0)=1800$，$z(4,4)=300\times 4+400\times 4=2800$。

最大值 $2800$ 元。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的实际建模

核心方法：可行域与最优解

避坑指南：目标函数最值的顶点法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于线性规划的应用题

结论推广：可推广到资源分配、生产安排等

方法推广：最优解通常在可行域顶点取得

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-10 单-简单线性规划

• 2005-山东卷理-15 填-简单的线性规划问题

• 2005-广东卷-20 解-轴对称的几何性质