2012-四川卷理-11 单-抛物线条数

本题导读

本题考查抛物线方程的识别与分类计数原理的综合。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

方程 $ay=b^2{x}^2+c$ 中的 $a,b,c\in \{-3,-2,0,1,2,3\}$，且 $a,b,c$ 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()

A. $60$ 条

B. $62$ 条

C. $71$ 条

D. $80$ 条

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程 $ay=b^2{x}^2+c$ 表示抛物线的条件：$a\ne 0$ 且 $b\ne 0$。

2. 化为 $y=\frac{b^2}{a}{x}^2+\frac{c}{a}$，不同抛物线需 $\frac{b^2}{a}$ 与 $\frac{c}{a}$ 至少一个不同。

3. 分类计数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

方程 $ay=b^2{x}^2+c$ 为抛物线需 $a\ne 0$ 且 $b\ne 0$。

$a,b\in \{-3,-2,1,2,3\}$（去掉 $0$），$c\in \{-3,-2,0,1,2,3\}$ 且 $a,b,c$ 互不相同。

对每个 $(a,b)$，$b^2$ 只与 $|b|$ 有关，$b^2\in \{1,4,9\}$，$b$ 取 $\pm$ 得相同 $b^2$。

经分类计数，不同的抛物线共 $62$ 条。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的标准方程

核心方法：分类计数原理

避坑指南：参数的等价性分析

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于圆锥曲线方程与计数

结论推广：可推广到其他曲线方程的计数

方法推广：注意 $b$ 取 $\pm b$ 时 $b^2$ 相同导致的重复

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-08 填-古典概型

• 2005-全国卷I理-12 单-异面直线的定义与判定

• 2005-全国卷II理-15 填-排列组合与计数原理