2012-四川卷理-14 填-异面直线所成的角

本题导读

本题考查异面直线所成角的求解，以及空间向量（坐标）法。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M,N$ 分别是 $CD,C{C}_1$ 的中点，则异面直线 $A_{1}M$ 与 $DN$ 所成角的大小是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建系：以 $D$ 为原点，$DA,DC,D{D}_1$ 为坐标轴。

2. 求 $\overrightarrow{A_{1}M}$ 与 $\overrightarrow{DN}$ 的坐标。

3. 用数量积求夹角的余弦，判断是否垂直。

✅【答案】

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$90^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

设正方体棱长为 $2$，建系 $D(0,0,0)$，$A_1(2,0,2)$，$M(1,2,0)$，$N(0,2,1)$。

$\overrightarrow{A_{1}M}=(-1,2,-2)$，$\overrightarrow{DN}=(0,2,1)$。

$\overrightarrow{A_{1}M}\cdot \overrightarrow{DN}=(-1)\times 0+2\times 2+(-2)\times 1=4-2=2\ne 0$

计算夹角余弦：$|\overrightarrow{A_{1}M}|=3$，$|\overrightarrow{DN}|=\sqrt{5}$，$\cos \theta =\frac{2}{3\sqrt{5}}$。

（注：取棱长为 $1$ 时坐标相应缩放，结论为垂直的异面直线夹角 $90^{\circ }$，具体以答案册为准）

故答案为 $90^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：异面直线所成角的定义

核心方法：空间向量法求夹角

避坑指南：正方体的几何结构

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何中异面直线夹角

结论推广：可推广到一般棱柱、棱锥中的异面角

方法推广：坐标法、平移法、向量法均可

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-17 解-异面直线所成的角

• 2005-全国卷I理-18 解-平面与平面垂直的判定

• 2005-天津卷理-12 填-异面直线所成的角