2012-四川卷理-17 解-相互独立事件

本题导读

本题考查相互独立事件与二项分布，以及分布列与期望的计算。

📌【题干】

Question

（2012年四川卷(理)）

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）$A$ 和 $B$，系统 $A$ 和 $B$ 在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$.

(1) 若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$，求 $p$ 的值；

(2) 设系统 $A$ 在 $3$ 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 $\xi$，求 $\xi$ 的概率分布列及数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

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1. 由”至少一个不发生故障”的概率求 $p$。

2. $\xi \sim B(3,\frac{9}{10})$，直接写分布列。

3. 用二项分布期望公式 $E\xi =np$。

✅【答案】

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(1) $p=\frac{1}{5}$

(2) 分布列为 $P(\xi =0)=\frac{1}{1000}$，$P(\xi =1)=\frac{27}{1000}$，$P(\xi =2)=\frac{243}{1000}$，$P(\xi =3)=\frac{729}{1000}$，$E\xi =\frac{27}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 至少一个不发生故障 $=1-$ 两系统都发生故障 $=1-\frac{1}{10}p=\frac{49}{50}$，解得 $p=\frac{1}{5}$。

(2) 系统 $A$ 单次不发生故障概率为 $\frac{9}{10}$，$\xi \sim B(3,\frac{9}{10})$。

$P(\xi =k)={\mathrm{C}}_3^k{\left(\frac{9}{10}\right)}^k{\left(\frac{1}{10}\right)}^{3-k}$

$P(\xi =0)=\frac{1}{1000}$，$P(\xi =1)=\frac{27}{1000}$，$P(\xi =2)=\frac{243}{1000}$，$P(\xi =3)=\frac{729}{1000}$。

$E\xi =3\times \frac{9}{10}=\frac{27}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与对立事件

核心方法：二项分布

避坑指南：分布列与数学期望

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于概率统计中的二项分布

结论推广：可推广到 $n$ 重伯努利试验

方法推广：$\xi \sim B(n,p)$ 时 $E\xi =np$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2002-新课标理-19 解-独立重复试验

• 2005-上海卷理-08 填-古典概型

• 2005-全国卷I理-20 解-相互独立事件的概率