2012-大纲卷文-05 单-椭圆基本量

本题导读

本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的准线与基本量。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 椭圆的中心在原点，焦距为 $4$，一条准线为 $x=-4$，则该椭圆的方程为()

A. $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$　B. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$　C. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$　D. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

$c=2$，准线 $x=-\frac{a^2}{c}=-4$ 得 $a^2=8$，$b^2=4$，选 C。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

焦距为 $4$，即 $2c=4$，$c=2$。

一条准线为 $x=-4$：焦点在 $x$ 轴上，且 $\frac{a^2}{c}=4$，故 $a^2=4c=8$。

$b^2=a^2-c^2=8-4=4$。

故椭圆方程为 $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的准线方程；$a,b,c$ 的基本关系

核心方法：三条基本量链条：$2c=4$、$\frac{a^2}{c}=4$、$a^2=b^2+c^2$

避坑指南：“焦距为 $4$“指 $2c=4$ 而非 $c=4$；准线 $x=-4$ 一次给出两个信息——焦点在 $x$ 轴上、$a^2=16$ 别急着写，先除以 $c$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆基本量还原题，与 2012 年新课标Ⅰ文第 4 题、2013 年四川卷文第 9 题（离心率）同属”椭圆基本量”家族。

结论推广：一般地，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的准线为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$；由准线方程可同时确定焦点位置与 $a^2$。

方法推广：椭圆基本量题固定列三条：$2c$、$\frac{a^2}{c}$（或 $e$）、$a^2=b^2+c^2$，联立即解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2013-四川卷文-09 单-椭圆离心率