本题导读
本题考查对数函数的单调性与值域，以及指数函数的单调性与值域。
📌【题干】
Question
（2012年大纲卷(理)） 已知 ，，，则()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析 的范围：根据自然对数底数 ，圆周率 ，利用对数函数的单调性将其与 进行比较。
- 分析 的范围：由于底数 ，对数函数单调递增。可将真数 2 与 进行比较，从而将 与 建立联系。
- 分析 的范围：根据负指数幂的定义变形为 。通过对底数 进行上下界缩放（如 ），从而判定 与 及 1 的大小关系。
- 区间串联综合：将各个变量所落的区间进行首尾衔接，得出最终的大小排列顺序。
✅【答案】
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D
✍【详细解析】
Abstract
解法一：介值分段判定法（最优解） 首先分析 ： 因为自然对数的底数 ，且圆周率 ，满足 。 根据对数函数 在 上单调递增的性质，有： 即：
其次分析 ： 因为底数 ，对数函数 在 上单调递增。 因为 ，所以满足： 同时显然有 ，所以：
最后分析 ： 根据指数函数及根式的运算性质： 因为 。 为了与 比较大小，我们可以对分母进行放大： 因为 ，两边开平方得 。 取倒数后，不等号方向反转： 综上可知 的取值区间为：
将上述三个变量所处的区间横向比对： 由此可以严谨地得出大小关系为：
故选 D
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：对数函数与指数函数的单调性应用、利用中介值比较离散代数式的大小。
- 核心方法：中介值划分法。处理指、对数混合比较大小时，直接计算精确值通常不可行，通法是引入 、、 等特征常数作为参照点进行区间隔离。
- 避坑指南：
- 估算方向错误：在比较 与 时，若将 错算为大于 4 就会得出相反的错误结论。切记 的数值常识。
- 对数底数单调性混淆：本题中所有对数的底数均大于 1（），函数为单调递增。若遇到底数在 之间的对数，比较大小时不等号方向必须反转。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》中关于指对数大小比较的基础综合练习。这类题目是高考对初等函数图象与单调性理解考查的必考题型。
- 结论推广:
- 指对数大小比较的一般化数轴模型：对于任意给定的正实数指对数式，可以统一映射到以 为分界点的数轴模型上。
- 快速判定定则：
- 当底数与真数同时大于 1 或同时在 之间时，对数值为正；一侧大于 1 另一侧在 之间时，对数值为负。
- 对于形如 的式子，若 ，则 ；若 ，则 （本题中 ，故立即口算出 ）。运用此二级结论，可以在考场上无需写出根式变换，直接实现快速得出。
🔗【关联脉络】
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