本题导读
本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值。
📌【题干】
Question
（2012年大纲卷(理)） 已知函数 的图象与 轴恰有两个公共点，则 ()
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
🔍【思路分析】
破题导航
- 分析单调性与极值点：对函数求导得 。令 求出两个互异的极值点。
- 分析临界几何状态：
- 正常情况下，一个最高次为 3 的单调交替函数与 轴的交点可能为 1 个、2 个或 3 个。
- 当图象与 轴“恰有两个公共点”时，意味着函数图象的其中一个极值点（波峰或波谷）恰好落在 轴上（即与 轴相切）。
- 列出方程求解：由此可以确定，临界充要条件为“极大值 ”或“极小值 ”。分别将对应的极值点代入原函数解析式令其为 0，解出常数 的可能取值。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
解法一：极值控制法（最优解） 对函数 进行求导：
令 ，解得两个临界极值点为：
根据导函数的正负分布判定函数的单调性：
- 当 时，，函数 单调递增；
- 当 时，，函数 单调递减。
由此可知：
- 当 时，函数取得极大值：
- 当 时，函数取得极小值：
因为三次函数 的图象与 轴恰有两个公共点， 结合其“增减增”的波浪形图象特征，说明其图象必有一处极值点与 轴相切（即落在 轴上）。 因此，其充要条件为：
分别列方程计算：
- 若极大值等于 0：
- 若极小值等于 0：
综上所述，常数 的值为 或 。
故选 A
解法二：特殊值代入排除法
- 取 （包含在C、D选项中），原函数变为 。 此时极大值为 ，极小值为 。 因为极大值与极小值异号（），说明函数图象与 轴有 3 个不同的交点，不符题意，排除 C, D。
- 取 （包含在B选项中），原函数变为 。 此时极大值为 ，极小值为 。 因为极大值与极小值同为正数，说明整个波浪区都在 轴上方，图象与 轴只有 1 个交点，不符题意，排除 B。
故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：导数公式的四则运算、函数极大值与极小值的判别、方程根的几何交点转化。
- 核心方法：数形结合与极值控制思想。三次多项式方程实根的个数完全受控于两个极值点的相对位置状态：
- 极值同号 个实根；
- 极值异号 个实根；
- 某一极值为 0 个实根。
- 避坑指南：
- 极值点代入张冠李戴：在计算极大值与极小值时，注意负号。 对应的是极大值， 对应的是极小值，代入化简时注意多项式的符号计算，避免因粗心算出 等错误结果。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中利用导数研究方程根的个数的常规经典习题。这类考查“恰有 2 个交点”的相切临界结构是高考在导数综合板块的基础必考题型。
- 结论推广:
- 经典三次函数零点个数判别通用模型：对于任意不含有二次项的标准三次函数 ，其导数必定存在两个互异极值点。
- 经过代数恒等变形对 进行推导化简，可得出其“恰有两个零点（方程有重根）”的统一通用判别通式：
- 本题中 ，直接代入此推广判别式进行快速运算：
- 熟记此判别式结论，在解答任何没有二次项的三次曲线零点个数（1个、2个或3个）选择、填空题时，可以完全免去求导、通分及繁琐的极值分步联立过程。
🔗【关联脉络】
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