2012-天津卷理-02 单-充要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判断，以及三角函数奇偶性的判定。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 设 $\phi \in \mathbb{R}$，则"$\phi =0$"是”$f(x)=\cos (x+\phi )$（$x\in \mathbb{R}$）为偶函数”的()

A. 充分而不必要条件　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

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1. 正向验证：把 $\phi =0$ 代入，$f(x)=\cos x$ 是偶函数，充分性成立。
2. 反向推导：由 $f(-x)=f(x)$ 对任意 $x\in \mathbb{R}$ 成立，展开后求出 $\phi$ 的取值集合。
3. 比较范围：判断"$\phi =0$"与"$\phi =k\pi$"的包含关系，定出充分而不必要。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性 当 $\phi =0$ 时，$f(x)=\cos x$，有 $f(-x)=\cos (-x)=\cos x=f(x)$，故 $f(x)$ 为偶函数，充分性成立。

第二步：探究必要性 若 $f(x)=\cos (x+\phi )$ 为偶函数，则对任意 $x\in \mathbb{R}$ 有 $f(-x)=f(x)$，即 $\cos (-x+\phi )=\cos (x+\phi )$ 两边展开： $\cos x\cos \phi +\sin x\sin \phi =\cos x\cos \phi -\sin x\sin \phi$ 即 $2\sin x\sin \phi =0$ 对任意 $x$ 成立，只能 $\sin \phi =0$，故 $\phi =k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。

第三步：比较范围 由偶函数只能推出 $\phi =k\pi$，未必有 $\phi =0$，故必要性不成立。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的判定，余弦函数的奇偶性。

核心方法：定义法——由 $f(-x)=f(x)$ 恒成立反推参数的取值集合，再比较两集合的包含关系。

避坑指南：偶函数的条件解出的是 $\phi =k\pi$ 而非 $\phi =0$，二者是”真包含”关系，切勿误判为充要条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自人教 A 版”常用逻辑用语”与三角函数奇偶性判定的交汇点。

结论推广：$f(x)=\cos (x+\phi )$ 为偶函数 $\iff \phi =k\pi$；为奇函数 $\iff \phi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

方法推广：判断充要条件时，“代入验证充分性 + 反解集合比大小”是通用流程。

🔗【关联脉络】

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