2012-天津卷理-15 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换与正弦型函数的性质。核心在于辅助角公式、整体代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+2{\cos }^{2}x-1$，$x\in \mathbb{R}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 化简解析式：对两个正弦用和差公式合并，对 $2{\cos }^{2}x-1$ 用降幂公式，再用辅助角公式合成一个正弦型函数。
2. 求周期：由 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 得出 $\omega =2$，进而求 $T$。
3. 整体代换：把 $2x+\frac{\pi }{4}$ 看成整体，在区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 上求其范围后定最值。

✅【答案】

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(1) $T=\pi$

(2) 最大值为 $\sqrt{2}$，最小值为 $-1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简解析式 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=2\sin 2x\cos \frac{\pi }{3}=\sin 2x$ 又 $2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$，故 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$

第二步：求最小正周期 由 $\omega =2$ 得 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

第三步：求区间最值 当 $x\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 时，$2x+\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$。 当 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，即 $x=\frac{\pi }{8}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1$，故 $f(x{)}_{\max }=\sqrt{2}$； 在区间左端点 $2x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$ 时，$\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $f(x)=\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1$； 在区间右端点 $2x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ 时，$f(x)=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1>-1$。 又 $\sin$ 在 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上的最小值为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，故 $f(x{)}_{\min }=-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：和差化积与降幂公式，正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的周期与最值。

核心方法：辅助角公式——先化成一个正弦型函数，再用整体代换把 $2x+\frac{\pi }{4}$ 看成整体求范围。

避坑指南：区间端点处未必取到最值，要比较区间内的驻点与两端点三处的函数值，不能直接取端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源自教材中辅助角公式与正弦型函数性质的例题，是三角解答题的常规首题。

结论推广：$a\sin \omega x+b\cos \omega x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )$，其中 $\tan \phi =\frac{b}{a}$。

方法推广：求闭区间上正弦型函数的最值，用”整体代换 + 正弦函数图象”是最稳妥的做法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质 类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域

• 2014-福建卷文-18 解-三角函数

• 2015-浙江卷文-11 填-三角变换