2012-安徽卷理-02 单-列表函数求值

本题导读

本题考查函数的表示法，以及正比例函数。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 下列函数中，不满足 $f(2x)=2f(x)$ 的是()

A. $f(x)=|x|$　　　　　　　　　　　　　　　B. $f(x)=x-|x|$

C. $f(x)=x+1$　　　　　　　　　　　　　　D. $f(x)=-x$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解等式含义：等式 $f(2x)=2f(x)$ 描述的是函数的一种线性齐次性。通常正比例函数 $f(x)=kx$ 均满足此性质。
2. 逐一代入验证：将各选项中的函数表达式分别代入左边 $f(2x)$ 和右边 $2f(x)$，计算并比较结果。
3. 寻找反例：由于题目要求找“不满足”的选项，只需发现左、右两端表达式不恒等即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 A：$f(2x)=|2x|=2|x|$，$2f(x)=2|x|$。左边 $=$ 右边，满足。
• 对于 B：$f(2x)=2x-|2x|=2x-2|x|$，$2f(x)=2(x-|x|)=2x-2|x|$。左边 $=$ 右边，满足。
• 对于 C：$f(2x)=(2x)+1=2x+1$，$2f(x)=2(x+1)=2x+2$。 显然 $2x+1\ne 2x+2$（对任意 $x\in \mathbb{R}$ 均不成立），不满足。
• 对于 D：$f(2x)=-(2x)=-2x$，$2f(x)=2(-x)=-2x$。左边 $=$ 右边，满足。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的解析式运算，理解 $f(2x)$ 是将原函数中的所有 $x$ 替换为 $2x$。
2. 核心方法：代入法。对于此类简单的选择题，直接计算左右两端的解析式是最稳妥的方法。
3. 易错点：忽略 C 选项中的常数项。在 $f(2x)$ 中，常数 $1$ 保持不变；而在 $2f(x)$ 中，常数 $1$ 也要乘以 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 若函数满足 $f(kx)=kf(x)$ 且 $f(x)$ 在 $x=0$处连续，则该函数必满足 $f(x)=f(1)x$（即正比例函数形式）。
2. 方法推广: 类似的函数方程如 $f(x+y)=f(x)+f(y)$（柯西方程）也常作为考点，这类函数在合理条件下均指向线性函数。
3. 题目推广: 若题目改为“满足 $f(x^2)=[f(x){]}^2$”，则需考虑幂函数等不同类型的函数特征。

🔗【关联脉络】

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