2012-安徽卷理-07 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式，以及二项式系数及其性质。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） $(x^2+2){\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}^5$ 的展开式的常数项是()

A. -3　　　　　　　B. -2　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

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1. 结构拆解：利用分配律，将原式展开为两个部分： $x^2\cdot {\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}^5+2\cdot {\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}^5$
2. 分析常数项来源：

• 第一部分 $x^2\cdot {\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}^5$ 产生常数项，需要括号内产生 $x^{-2}$ 项。
• 第二部分 $2\cdot {\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}^5$ 产生常数项，需要括号内产生常数项（$x^0$ 项）。

3. 利用通项公式：设 ${\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}^5$ 的通项为 $T_{r+1}$，分别计算 $x^{-2}$ 和 $x^0$ 项的系数。
4. 求和得出结论：将两个部分的常数项相加。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设二项式 ${\left(\frac{1}{x^2}-1\right)}^5$ 的展开式通项为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot {\left(x^{-2}\right)}^{5-r}\cdot (-1{)}^r=(-1{)}^r\cdot C_5^r\cdot x^{2r-10}$

第一步：求 $x^2\cdot (\dots {)}^5$ 中的常数项 需要 $x^{2r-10}=x^{-2}$，即 $2r-10=-2⟹2r=8⟹r=4$。 此时该项为 $T_5=(-1{)}^4\cdot C_5^4\cdot x^{-2}=5x^{-2}$。 乘以前面的 $x^2$，贡献的常数项为：$1\times 5=5$。

第二步：求 $2\cdot (\dots {)}^5$ 中的常数项 需要 $x^{2r-10}=x^0$，即 $2r-10=0⟹2r=10⟹r=5$。 此时该项为 $T_6=(-1{)}^5\cdot C_5^5\cdot x^0=-1$。 乘以前面的系数 $2$，贡献的常数项为：$2\times (-1)=-2$。

第三步：求总和 展开式中的常数项为 $5+(-2)=3$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：“拆分与目标定位”。面对形如 $P(x)(Q(x){)}^n$ 的展开项问题，先根据 $P(x)$ 的每一项确定 $Q(x{)}^n$ 中需要寻找的幂次。
3. 易错点：二项式中的负号。在通项公式中，务必将 $-1$ 作为一个整体参与运算，否则容易出现符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 对于 $(a{x}^k+b)(c{x}^m+d{x}^p{)}^n$ 型，常数项的分布取决于指数之间的线性组合。
2. 方法推广: 也可以直接将括号内通项与括号外多项式每一项相乘，列出指数方程组求解。
3. 题目推广: 若题目求的是“各项系数之和”，则通常采用“赋值法”，令 $x=1$ 即可快速得出结果。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合 类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项

• 1997-全国卷理-16 填-二项式展开式的系数

• 1998-全国卷理-17