2012-安徽卷理-19 解-导数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性与最值。核心在于换元法、分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） (19） 设函数 $f(x)=a{e}^x+\frac{1}{a{e}^x}+b$ ($a>0$).

(1)求 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 内的最小值；

(2)设曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y=\frac{3}{2}x$，求 $a,b$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

• 换元简化：令 $t=e^x$，由于 $x\ge 0$，故 $t\ge 1$。原函数变为关于 $t$ 的函数 $g(t)=at+\frac{1}{at}+b$。
• 模型识别：这是一个对勾函数模型，其极小值点在 $at=\frac{1}{at}⟹t=\frac{1}{a}$ 处。
• 区间讨论：由于 $t\ge 1$，需讨论极小值点 $\frac{1}{a}$ 是否在 $[1,+\infty )$ 内：

  • 若 $\frac{1}{a}\le 1$（即 $a\ge 1$），函数在区间内单调递增。

  • 若 $\frac{1}{a}>1$（即 $0<a<1$），极小值在区间内取得。

2. 第二问：

• 切线性质：切线方程为 $y=\frac{3}{2}x$。
• 列方程组：
  • 斜率条件：$f^{\prime }(2)=\frac{3}{2}$。
  • 切点条件：点 $(2,f(2))$ 在切线上，故 $f(2)=\frac{3}{2}\times 2=3$。
• 求解方程：代入 $f(x)$ 和 $f^{\prime }(x)$ 的表达式进行解方程。

✅【答案】

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(1) $f(x{)}_{\min }=\{\begin{array}{ll}a+\frac{1}{a}+b,& a\ge 1\\ b+2,& 0<a<1\end{array}$

(2) $a=\frac{2}{e^2}$，$b=\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设 $t=e^x$，因为 $x\in [0,+\infty )$，所以 $t\in [1,+\infty )$。 原函数转化为 $y=at+\frac{1}{at}+b$。对其求导（或利用对勾函数性质）： $y^{\prime }=a-\frac{1}{a{t}^2}=\frac{a^2{t}^2-1}{a{t}^2}$。 令 $y^{\prime }=0$，得 $t=\frac{1}{a}$（负值舍去）。

① 当 $a\ge 1$ 时，则 $\frac{1}{a}\le 1$。 此时 $t\in [1,+\infty )$ 时，$y^{\prime }\ge 0$ 恒成立。 函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 内单调递增。 故当 $x=0$（即 $t=1$）时，$f(x)$ 取得最小值 $f(0)=a+\frac{1}{a}+b$。

② 当 $0<a<1$ 时，则 $\frac{1}{a}>1$。 当 $t\in [1,\frac{1}{a})$ 时，$y^{\prime }<0$，函数单调递减； 当 $t\in (\frac{1}{a},+\infty )$ 时，$y^{\prime }>0$，函数单调递增。 故当 $t=\frac{1}{a}$（即 $x=-\ln a$）时，$f(x)$ 取得最小值： $f(-\ln a)=a\cdot \frac{1}{a}+\frac{1}{a\cdot \frac{1}{a}}+b=1+1+b=b+2$。

综上所述，$f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 内的最小值为： $f(x{)}_{\min }=\{\begin{array}{ll}a+\frac{1}{a}+b,& a\ge 1\\ b+2,& 0<a<1\end{array}$

（Ⅱ）解： 对 $f(x)$ 求导得：$f^{\prime }(x)=a{e}^x-\frac{1}{a{e}^x}$。 因为曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线为 $y=\frac{3}{2}x$，由题意得： $\{\begin{array}{l}f(2)=\frac{3}{2}\times 2=3\\ f^{\prime }(2)=\frac{3}{2}\end{array}$

代入解析式： $\{\begin{array}{l}a{e}^2+\frac{1}{a{e}^2}+b=3\text{(1)}\\ a{e}^2-\frac{1}{a{e}^2}=\frac{3}{2}\text{(2)}\end{array}$

由 ② 得 $2(a{e}^2{)}^2-3(a{e}^2)-2=0$。 解得 $a{e}^2=2$ 或 $a{e}^2=-\frac{1}{2}$（因为 $a>0$，舍去）。 由 $a{e}^2=2$ 得 $a=\frac{2}{e^2}$。 将 $a{e}^2=2$ 代入 ①： $2+\frac{1}{2}+b=3⟹b=\frac{1}{2}$。

故 $a=\frac{2}{e^2},b=\frac{1}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对勾函数 $y=mx+\frac{n}{x}$ 的最值点 $\sqrt{\frac{n}{m}}$；导数的切线方程应用。
2. 核心方法：分类讨论。在处理闭区间（或射线）最值时，必须通过导数根的位置与区间的关系进行划分，这是高考解答题的标准扣分点。
3. 易错点：第二问中切点坐标的隐含利用。很多学生只想到斜率 $f^{\prime }(2)$，却忘记了切点也在切线上这一重要约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 对于函数 $f(x)=m{e}^x+n{e}^{-x}$，其本质是指数形式的“对勾函数”，性质与 $y=mx+\frac{n}{x}$ 在 $x>0$ 时高度一致。
2. 方法推广: 换元法可以将复杂的超越函数转化为熟悉的代数函数，降低思维难度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

• 20.01 导数定义与几何意义 类题演练 (Links)

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性