2012-安徽卷理-21 解-数列周期

本题导读

本题考查数列的递推关系。核心在于构造差值法、归纳推理法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年安徽卷(理)） 数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=0$，$x_{n+1}=-x_n^2+x_n+c$ ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).

(1)证明：$\{x_n\}$ 是递减数列的充分必要条件是 $c<0$；

(2)求 $c$ 的取值范围，使 $\{x_n\}$ 是递增数列.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（充要条件证明）：

• 必要性：由 $\{x_n\}$ 递减推导出 $x_2<x_1$，代入递推式求 $c$。
• 充分性：由 $c<0$ 结合递推式 $x_{n+1}-x_n=-x_n^2+c$，判断差值的正负，从而确认单调性。

2. 第二问（递增范围求解）：

• 初步约束：若递增，则 $x_2>x_1⟹c>0$。
• 差值分析：考虑 $x_{n+1}-x_n=-x_n^2+c$。若要此式恒大于 0，则需满足 $x_n^2<c$。
• 界限判定：考察递推函数 $f(x)=-x^2+x+c$ 的不动点及其在区间内的取值。若 $c$ 过大，数列项可能跳出使得 $x_{n+1}>x_n$ 的范围，导致单调性改变。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $0<c\le \frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 由递推式得 $x_{n+1}-x_n=-x_n^2+c$。

1. 充分性： 若 $c<0$，由于 $x_n^2\ge 0$，则 $x_{n+1}-x_n=-x_n^2+c<0$ 恒成立。 所以 $x_{n+1}<x_n$，即 $\{x_n\}$ 是递减数列。
2. 必要性： 若 $\{x_n\}$ 是递减数列，则对于任意 $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ 都有 $x_{n+1}<x_n$。 特别地，取 $n=1$，有 $x_2<x_1$。 因为 $x_1=0$，则 $x_2=-0^2+0+c=c$。 故 $c<0$。 综上，$\{x_n\}$ 是递减数列的充分必要条件是 $c<0$。

（Ⅱ）解： 若 $\{x_n\}$ 是递增数列，则对任意 $n\ge 1$，有 $x_{n+1}-x_n=-x_n^2+c>0$，即 $x_n^2<c$。 这意味着 $c$ 必须大于 0，且 $-\sqrt{c}<x_n<\sqrt{c}$。

1. 由 $x_1=0<\sqrt{c}$，得 $x_2=c$。由递增性，$x_2>x_1⟹c>0$。
2. 要使 $x_2^2<c$，即 $c^2<c$，解得 $0<c<1$。
3. 考察相邻两项差值的变化： $x_{n+2}-x_{n+1}=(-x_{n+1}^2+x_{n+1}+c)-(-x_n^2+x_n+c)=-(x_{n+1}-x_n)(x_{n+1}+x_n-1)$。 要使数列递增（即 $x_{n+2}-x_{n+1}>0$ 且 $x_{n+1}-x_n>0$），必须满足： $x_{n+1}+x_n-1<0⟹x_{n+1}+x_n<1$
4. 若 $c\le \frac{1}{4}$： 此时不动点满足 $x=-x^2+x+c⟹x^2=c⟹x=\pm \sqrt{c}$。 当 $0<c\le \frac{1}{4}$ 时，$\sqrt{c}\le \frac{1}{2}$。 由于 $x_1=0$，可以归纳证明 $0\le x_n<\sqrt{c}\le \frac{1}{2}$。 则 $x_{n+1}+x_n<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，满足递增条件。
5. 若 $c>\frac{1}{4}$： 则 $\sqrt{c}>\frac{1}{2}$。随着 $n$ 增大，$x_n$ 会无限趋近于不动点 $\sqrt{c}$。 当 $x_n$ 足够接近 $\sqrt{c}$ 时，$x_{n+1}+x_n$ 必将大于 1（例如当 $x_n>\frac{1}{2}$ 时）， 此时 $x_{n+2}-x_{n+1}$ 将变为负数，数列不再递增。

综上所述，$c$ 的取值范围是 $(0,\frac{1}{4}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：递推数列的单调性与差值符号判定；不动点理论在数列稳定性中的应用。
2. 核心方法：“差式分解法”。通过 $x_{n+2}-x_{n+1}$ 与 $x_{n+1}-x_n$ 的比例关系（即导数的离散化形式）来判定单调性的持续性。
3. 易错点：忽略 $x_{n+1}+x_n<1$ 这一关键约束。很多学生只考虑到 $c>0$ 或 $c<1$，未能深入探讨项数增加后单调性是否会发生反转。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 结论推广: 对于递推式 $x_{n+1}=f(x_n)$，若 $f^{\prime }(x)>0$，则数列具有单向单调性；若 $f^{\prime }(x)<0$，则数列具有摆动性。
2. 题目推广: 本题原型为逻辑斯特映射（Logistic Map）的简化版，是研究混沌理论的数学基础。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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