2012-山东卷理-03 单-充要条件

本题导读

本题考查充要条件与函数单调性的判断。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

设 $a>0$ 且 $a\ne 1$，则”函数 $f(x)=a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上是减函数”是”函数 $g(x)=(2-a)x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数”的()

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=a^x$ 减函数 $⟺0<a<1$。

2. $g(x)=(2-a)x^3$ 增函数 $⟺2-a>0⟺a<2$。

3. 判断 $0<a<1$ 与 $a<2$ 的推出关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=a^x$ 在 $\mathbb{R}$ 上减 $⟺0<a<1$。

$g(x)=(2-a)x^3$ 在 $\mathbb{R}$ 上增 $⟺2-a>0⟺a<2$。

$0<a<1\Rightarrow a<2$（充分），但 $a<2$ 不能推出 $0<a<1$（如 $a=1.5$）。

故是充分不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件

核心方法：指数函数与幂函数的单调性

避坑指南：逻辑推理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于充要条件的判断

结论推广：可推广到含参函数的单调性判断

方法推广：注意 $x^3$ 的单调性与系数符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-13 单-指数函数的单调性与值域

• 2005-上海卷理-18 解-复数的代数形式及运算

• 2005-全国卷I理-09 单-对数不等式的解法