2012-山东卷理-14 填-三棱锥的体积

本题导读

本题考查三棱锥的体积，以及等体积法的应用。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(理)）

如图，正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的棱长为 $1$，$E,F$ 分别为线段 $A{A}_1$，$B_{1}C$ 上的点，则三棱锥 $D_1-EDF$ 的体积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用等体积法，$V_{D_1-EDF}=V_{D-D_{1}EF}$。

2. 选合适的底与高。

3. 计算体积。

✅【答案】

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$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

$V_{D_1-EDF}=V_{D-EDF}$（同底 $△EDF$，等高）。

或以 $△D_{1}EF$ 为底，$D$ 到该面距离为高，利用 $EF\perp$ 平面 $BC{C}_1{B}_1$ 等关系。

计算得体积 $=\frac{1}{6}$（正方体棱长 $1$）。

故答案为 $\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥的体积

核心方法：等体积法

避坑指南：正方体的结构

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于立体几何体积计算

结论推广：可推广到求点到平面的距离

方法推广：等体积法把体积问题转化为面积与距离

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2005-江苏卷-04 单-正三棱柱的几何性质

• 2005-重庆卷理-10 单-三棱锥的体积公式

• 2006-四川卷理-19 解-三棱锥的体积公式