2012-广东卷理-21 解-集合

本题导读

本题考查集合的交集运算。核心在于分类讨论法、导数工具法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年广东卷(理)） 设 $a<1$，集合 $A=\{x\in \mathbf{R}\mid x>0\}$，$B=\{x\in \mathbf{R}\mid 2x^2-3(1+a)x+6a>0\}$，$D=A\cap B$.

(1)求集合 $D$（用区间表示）；

(2)求函数 $f(x)=2x^3-3(1+a)x^2+6ax$ 在 $D$ 内的极值点.

🔍【思路分析】

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1. 第一问解不等式 $2x^2-3(1+a)x+6a>0$。计算判别式 $\Delta =(3a-1)(3a-9)$，由于 $a<1$，只需讨论 $\Delta$ 的正负，即以 $a=\frac{1}{3}$ 和 $a=0$（结合 $x>0$ 的边界）为分界点进行分类讨论，最后与 $A=(0,+\infty )$ 取交集。
2. 第二问首先对 $f(x)$ 求导，得 $f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-a)$，驻点为 $x_1=1$，$x_2=a$。
3. 极值点必须落在定义域 $D$ 的内部。结合第一问讨论出的不同 $a$ 取值范围下的区间 $D$，将驻点 $1$ 和 $a$ 代入不等式进行位置卡位，判断其是否在 $D$ 内，并结合导数左右两侧的正负号变化判定是极大值点还是极小值点。

✅【答案】

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(1) $\frac{1}{3}<a<1$ 时 $D=(0,+\infty )$；$0<a\le \frac{1}{3}$ 时 $D=\left(0,\frac{3+3a-\sqrt{9a^2-30a+9}}{4}\right)\cup \left(\frac{3+3a+\sqrt{9a^2-30a+9}}{4},+\infty \right)$；$a\le 0$ 时 $D=\left(\frac{3+3a+\sqrt{9a^2-30a+9}}{4},+\infty \right)$

(2) $\frac{1}{3}<a<1$ 时极大值点为 $a$，极小值点为 $1$；$0<a\le \frac{1}{3}$ 时极大值点为 $a$，无极小值点；$a\le 0$ 时无极值点

✍【详细解析】

Abstract

（1）求集合 $D$（用区间表示）

记一元二次函数 $h(x)=2x^2-3(1+a)x+6a$。 其判别式满足： $\Delta =[-3(1+a){]}^2-4\times 2\times 6a=9(1+2a+a^2)-48a=9a^2-30a+9=(3a-1)(3a-9)$

因为已知 $a<1$，所以 $3a-9<0$ 恒成立。 下面根据 $3a-1$ 的正负及两根与 $0$ 的大小关系分情况讨论：

① 当 $\frac{1}{3}<a<1$ 时： 此时 $\Delta <0$，抛物线 $h(x)$ 整体位于 $x$ 轴上方，不等式 $h(x)>0$ 的解集为 $\mathbf{R}$。 所以 $B=\mathbf{R}$，则： $D=A\cap B=(0,+\infty )$

② 当 $0<a\le \frac{1}{3}$ 时： 此时 $\Delta \ge 0$，方程 $h(x)=0$ 有两个实根，设为 $x_1,x_2$（ $x_1\le x_2$ ），由求根公式得： $x_{1,2}=\frac{3(1+a)\pm \sqrt{9a^2-30a+9}}{4}$ 因为 $a>0$，由韦达定理知 $x_1+x_2=\frac{3(1+a)}{2}>0$ 且 $x_1{x}_2=3a>0$，说明两根均为正根。 集合 $B=(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$。与 $A=(0,+\infty )$ 取交集得： $D=(0,x_1)\cup (x_2,+\infty )$ 即 $D=\left(0,\frac{3+3a-\sqrt{9a^2-30a+9}}{4}\right)\cup \left(\frac{3+3a+\sqrt{9a^2-30a+9}}{4},+\infty \right)$

③ 当 $a\le 0$ 时： 此时 $\Delta >0$，由韦达定理知 $x_1{x}_2=3a\le 0$，说明方程有一个非正根和一个正根。 其正根为 $x_2=\frac{3+3a+\sqrt{9a^2-30a+9}}{4}$。 集合 $B=(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$。与 $A=(0,+\infty )$ 取交集得： $D=(x_2,+\infty )$ 即 $D=\left(\frac{3+3a+\sqrt{9a^2-30a+9}}{4},+\infty \right)$

（2）求函数 $f(x)$ 在 $D$ 内的极值点

对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=6x^2-6(1+a)x+6a=6(x-1)(x-a)$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得两个驻点为 $x=1$ 或 $x=a$。 因为 $a<1$，所以当 $x$ 跨越驻点时，导数符号的变化规律为：在 $(-\infty ,a)$ 上 $f^{\prime }(x)>0$，在 $(a,1)$ 上 $f^{\prime }(x)<0$，在 $(1,+\infty )$ 上 $f^{\prime }(x)>0$。 由此可知： $x=a$ 是潜在的极大值点，$x=1$ 是潜在的极小值点。下面针对 $a$ 的取值范围分情况检验其是否落在区间 $D$ 内：

① 当 $\frac{1}{3}<a<1$ 时： 由（1）可知 $D=(0,+\infty )$。 因为 $\frac{1}{3}<a<1$ 且 $1>0$，所以两个驻点 $a$ 和 $1$ 均落在区间 $D$ 内。 此时， $f(x)$ 在 $D$ 内有一个极大值点 $a$，有一个极小值点 $1$。

② 当 $0<a\le \frac{1}{3}$ 时： 由（1）可知 $D=(0,x_1)\cup (x_2,+\infty )$，其中 $x_1,x_2$ 为 $h(x)=0$ 的两正根。 我们将驻点 $1$ 和 $a$ 代入函数 $h(x)$ 中以判定其与两根的相对位置： $h(1)=2-3(1+a)+6a=3a-1$ 因为 $a\le \frac{1}{3}⟹3a-1\le 0$，即 $h(1)\le 0$，说明驻点 $1$ 落在两根之间，即 $1\in [x_1,x_2]$，故 $1\notin D$。 $h(a)=2a^2-3(1+a)a+6a=3a-a^2=a(3-a)$ 因为 $0<a\le \frac{1}{3}⟹3-a>0⟹h(a)>0$，且由 $a<\frac{3(1+a)}{4}$（对称轴）知 $a<x_1$，说明驻点 $a$ 落在区间 $(0,x_1)$ 内，即 $a\in D$。 此时， $f(x)$ 在 $D$ 内只有一个极大值点 $a$。

③ 当 $a\le 0$ 时： 由（1）可知 $D=(x_2,+\infty )$，其中 $x_2$ 为 $h(x)=0$ 的唯一正根。 因为 $a\le 0$，而 $D$ 内部全为正数，所以驻点 $a\notin D$。 对于驻点 $1$： $h(1)=3a-1$ 因为 $a\le 0⟹3a-1<0$，即 $h(1)<0$，说明驻点 $1$ 落在正根 $x_2$ 的左侧（即 $1<x_2$），故 $1\notin D$。 此时，两个驻点均不在 $D$ 内， $f(x)$ 在 $D$ 内无极值点。

综上所述：

• 当 $\frac{1}{3}<a<1$ 时，$f(x)$ 的极大值点为 $a$，极小值点为 $1$；
• 当 $0<a\le \frac{1}{3}$ 时，$f(x)$ 的极大值点为 $a$，无极小值点；
• 当 $a\le 0$ 时，$f(x)$ 在 $D$ 内无极值点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参一元二次不等式的根轴讨论法、导数单调性判别极值点、根的分布（代数留弃验证）。
2. 核心方法：点值代入符号判定法。在第二问中判定驻点 $1$ 和 $a$ 是否属于集合 $B$（即是否满足 $h(x)>0$ ）时，无需将驻点与复杂的求根公式直接做大小比较，只需将驻点直接代入 $h(x)$，通过其函数值的正负号即可一步到位锁定该点在抛物线轮廓上的相对区间位置。
3. 避坑指南：

• 第一问中切勿漏掉与集合 $A=(0,+\infty )$ 取交集这一基本操作，这直接决定了讨论 $a\le 0$ 时区间左端点被零截断的几何构型。
• 第二问求的是“极值点”，其最终代数结果指的是自变量 $x$ 的取值，切勿习惯性地求出极值 $f(1)$ 或 $f(a)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《一元函数的导数及其应用》中关于利用导数研究含参函数极值的压轴解答题。
2. 结论推广：对于三次函数 $f(x)=2x^3-3(1+a)x^2+6ax$，其导函数的根即为原函数极值点的候选集。在给定动态边界定义域 $D$ 下，极值点存在性的本质是探讨一阶导函数的零点与原函数约束边界不等式之间的交集拓扑关系。利用“函数值符号卡位法”可规避求根公式的开方计算，是所有含参导数大题的通用化简模板。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算 类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷理-01 单-对数

• 1997-全国卷理-01 单-集合的交集与一元二次不等式

• 2004-全国卷II理-01 单-集合的交集运算