2012-新课标卷理-05 单-等比数列的性质

本题导读

本题考查等比数列的性质与韦达定理的综合。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知 $\{a_n\}$ 为等比数列，$a_4+a_7=2$，$a_5{a}_6=-8$，则 $a_1+a_{10}=$

()

A. $7$

B. $5$

C. $-5$

D. $-7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_5{a}_6=a_4{a}_7=-8$ 与 $a_4+a_7=2$，用韦达定理求 $a_4,a_7$。

2. 分类讨论求 $a_1+a_{10}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

等比数列中 $a_5{a}_6=a_4{a}_7=-8$，又 $a_4+a_7=2$，

故 $a_4,a_7$ 是 $x^2-2x-8=0$ 的根，即 $a_4,a_7$ 为 $4,-2$。

若 $a_4=4,a_7=-2$，则 $q^3=-\frac{1}{2}$，$a_1+a_{10}=\frac{a_4}{q^3}+a_7{q}^3=\frac{4}{-\frac{1}{2}}+(-2)(-\frac{1}{2})=-8+1=-7$。

若 $a_4=-2,a_7=4$，则 $q^3=-2$，$a_1+a_{10}=\frac{-2}{-2}+4\times (-2)=1-8=-7$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的性质

核心方法：等比中项

避坑指南：韦达定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于等比数列

结论推广：可推广到等差、等比数列的混合问题

方法推广：等比数列中 $a_{n-k}{a}_{n+k}=a_n^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2005-全国卷II理-18 解-等差数列与等比数列的通项公式

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