2012-新课标卷理-09 单-三角函数的单调性

本题导读

本题考查正弦型函数单调区间的求解，以及区间包含关系。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知 $\omega >0$，函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$ 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 单调递减，则 $\omega$ 的取值范围是

()

A. $\left[\frac{1}{2},\frac{5}{4}\right]$

B. $\left[\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right]$

C. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$

D. $(0,2]$

🔍【思路分析】

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1. $\sin t$ 的递减区间为 $[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ]$。

2. 令 $\omega x+\frac{\pi }{4}$ 落入递减区间。

3. 由 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 包含于递减区间求 $\omega$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 递减需 $\omega x+\frac{\pi }{4}\in [\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}]$（取 $k=0$ 的区间）。

对 $x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$：$\omega \cdot \frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}⩾\frac{\pi }{2}$ 且 $\omega \pi +\frac{\pi }{4}⩽\frac{3\pi }{2}$。

解得 $\omega ⩾\frac{1}{2}$ 且 $\omega ⩽\frac{5}{4}$，即 $\omega \in [\frac{1}{2},\frac{5}{4}]$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦函数的单调性

核心方法：复合函数的单调区间

避坑指南：区间包含关系

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角函数的单调性

结论推广：可推广到含参数的单调区间问题

方法推广：$\sin x$ 的减区间是 $[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ]$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷II理-04 单-正切函数的单调性

• 2005-山东卷理-04 单-函数的奇偶性

• 2005-辽宁卷-10 单-函数的单调性