2012-新课标卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理、余弦定理与三角形面积，以及边角互化。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(理)）

已知 $a,b,c$ 分别为 $△ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 的对边，$a\cos C+\sqrt{3}a\sin C-b-c=0$.

(1) 求 $A$；

(2) 若 $a=2$，$△ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，求 $b,c$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由正弦定理把 $a\cos C+\sqrt{3}a\sin C-b-c=0$ 化为角的关系。

2. 化简求 $A$。

3. 由面积与余弦定理求 $b,c$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $A=\frac{\pi }{3}$

(2) $b=2$，$c=2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由正弦定理：$\sin A\cos C+\sqrt{3}\sin A\sin C=\sin B+\sin C=\sin (A+C)+\sin C$。

$\Rightarrow \sqrt{3}\sin A\sin C=\cos A\sin C+\sin C$，$\sin C>0$，故 $\sqrt{3}\sin A=\cos A+1$。

$\sqrt{3}\sin A-\cos A=1\Rightarrow 2\sin (A-30^{\circ })=1\Rightarrow \sin (A-30^{\circ })=\frac{1}{2}$，$A=60^{\circ }=\frac{\pi }{3}$。

(2) $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}bc\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow bc=4$。

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-bc=4$，又 $bc=4$，得 $b^2+c^2=8$，

$(b+c{)}^2=b^2+c^2+2bc=16\Rightarrow b+c=4$，结合 $bc=4$ 得 $b=c=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理

核心方法：余弦定理

避坑指南：三角形面积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于解三角形

结论推广：可推广到边角混合关系的求解

方法推广：$\sin B=\sin (A+C)$ 是边角互化的关键

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷理-09 填-余弦定理标准式

• 2005-上海卷理-17 解-异面直线所成的角

• 2005-全国卷III理-19 解-正弦定理与余弦定理